Participants : Jean-Paul Berroir, Isabelle Herlin, Isaac Cohen
Mots clefs : grande déformation, mouvement non rigide
Suivre un tourbillon dans des images océanographiques soulève plusieurs difficultés : sa structure est complexe, et peut subir des changements importants de forme et de topologie pendant son évolution. La figure 1 présente quelques occurrences de cette évolution sur des images CZCS, et la figure 2 des extraits d'une simulation numérique de ce phénomène : partant d'une ligne droite, le tourbillon croît jusqu'à atteindre une forme caractéristique en champignon. Notre but est de suivre les contours du vortex pendant cette évolution.
Figure 1: Trois occurrences de l'évolution
d'un tourbillon dans une séquence CZCS, sur lesquelles sont
superposés les résultats du modèle statique (Les données sont
fournies par ACRI et le projet européen OCEAN).
Figure 2:
Trois étapes d'une simulation numérique de l'évolution d'un
tourbillon (fourni par EOS).
Nous proposons un modèle qui réalise un suivi global sans s'appuyer sur des caractéristiques locales des contours (telle que la courbure) : nous recherchons une surface interpolant deux contours successifs et nous modélisons l'information physique exogène par des contraintes géométriques appliquées à cette surface. Dans une première étape, nous avons choisi de contraindre la première forme fondamentale, qui est une mesure de la distorsion locale de la surface : plus elle est proche de l'identité, plus la distorsion est faible. Minimiser la distorsion revient à donner un comportement élastique à la surface. Afin d'obtenir une représentation numérique stable, nous proposons une version simplifiée et nous recherchons la meilleure surface vis-à-vis de ce critère parmi un ensemble restreint de surfaces : les interpolations bilinéaires des deux contours originaux. La fonctionnelle d'énergie correspondante est :
où 
représente la
tangente normalisée du contour i et où f est la
fonction de mise en correspondance donnant l'abscisse curviligne
du deuxième contour en
fonction de celle, s, du premier. Pour minimiser cette
fonctionnelle, nous utilisons un modèle paramétrique pour
f, qui est élaboré en fonction de la géométrie du
tourbillon et de son évolution. Nous distinguons cinq régions qui
se correspondent lors de l'évolution temporelle (voir figure
3). La fonction f
doit être approximativement linéaire sur chacune d'entre elles et
doit les mettre en correspondance. Nous utilisons ainsi les
fonctions linéaires par morceaux passant par quatre points
séparant ces régions et lissées par un filtre 
.
Figure 3:
Séparation d'un tourbillon en 5 régions significatives.
Les résultats de la mise en correspondance sont présentés sur les figures 4 et 5: on peut vérifier que ces régions sont bien appariées même quand les contours sont à des stades très éloignés de leur évolution.
Figure 4: Suivi
du tourbillon avec une résolution temporelle fine.
Figure 5: Mise
en correspondance d'occurrences temporelles du tourbillon avec la
dernière occurrence disponible. L'hypothèse de petite déformation
n'est plus valide.