Participants : Khalid Daoudi, Jacques Lévy Véhel, Yves Meyer
Mots clefs : fractales, ondelettes, système de fonctions itérées
Nous avons continué à étudier le problème soulevé l'année
dernière, à savoir : soit 
une fonction de 
dans 
;
sous quelles conditions sur 
existe-t-il une fonction continue f de
dans 
dont le graphe est l'attracteur
d'un IFS, et telle que la régularité de f, mesurée en
terme d'exposant de Hölder, soit exactement 
en chaque point x ? Nous avons
amélioré le résultat obtenu précédemment en prouvant le théorème
suivant [7]:
Soit s une fonction de 
dans 
.
Alors, les conditions suivantes sont équivalentes: i) s
est la fonction de Hölder d'une fonction continue f de
dans 
. ii) Il existe une suite
de fonctions
continues telle que :
Nous avons pu fournir trois preuves constructives de ce
théorème. La première est fondée sur la décomposition d'une
fonction dans une base d'ondelettes. La seconde preuve est fondée
sur une généralisation de la fonction de Weierstrass. La
troisième preuve consiste en une généralisation de la théorie des
IFS. Nous démontrons aussi que si 
est limite inférieure d'une suite de fonctions
continues, alors l'ensemble 
défini par :
est dense dans 
pour la norme 
.