Participants : Pascal Morin, Claude Samson
Le satellite sous-actionné (deux commandes indépendantes, au lieu de trois dans la configuration classique), vu comme un corps rigide dont il s'agit de stabiliser l'orientation, est un bon exemple de système non-linéaire commandable, non stabilisable par pur retour d'état continu, mais stabilisable par retour d'état continu instationnaire (c'est à dire par une loi de commande fonction non seulement de l'état du système mais également de la variable temporelle). Son intérêt réside aussi dans le fait qu'il contient un terme de dérive qui le différencie des systèmes dits ``chaînés'' utilisés par ailleurs pour modéliser un certain nombre de robots mobiles.
Nous avions l'année dernière résolu le problème de
stabilisation asymptotique en proposant une classe de retours
d'état périodiques partout différentiables [4]. Des études allant dans le même sens
ont été réalisées par des chercheurs de l'Université de Berkeley.
Un inconvénient de cette solution, intrinsèquement lié à la
propriété de différentiabilité de la commande, est la lenteur de
la convergence asymptotique qu'elle permet. Nous avons donc
cherché à améliorer ce taux de convergence, de sorte à atteindre
un taux exponentiel, en imposant à la commande d'être seulement
continue au point d'équilibre stabilisé. Les techniques qui nous
ont permis de construire une telle loi de commande (voir
[24]) sont différentes de celles, à
base de variété centre, utilisées précédemment pour la solution
différentiable. Elles reposent sur les propriétés des systèmes
``homogènes'' que nous avions auparavant étendues au cas
instationnaire et utilisées pour stabiliser les systèmes
``chaînés'', ainsi que sur l'établissement d'un théorème
d'extension dynamique à base de ``grands gains'' afin de traiter
systématiquement l'ajout d'intégrateurs. La loi de commande
proposée est explicite et sensiblement plus simple que celle
proposée récemment par Coron et Kerai
, cette dernière faisant intervenir
une commutation périodique entre deux lois de commande.