Participants : Stéphane Bouchereau, Stéphane Despreaux, Mathias Marguliès, Patrick Witomski
Mots clefs : problème de Stefan, surface libre, capillarité
Optimisation en cristallogénèse : Mathias Marguliès a écrit un modèle et mis au point un logiciel pour aider au contrôle d'une méthode de cristallogénèse : le procédé Bridgman. Il s'agit de contrôler l'interface de cristallisation à partir de paramètres agissant sur la thermique du procédé : la vitesse de tirage, l'orientation des réflecteurs pour les échanges de chaleur par rayonnement. A l'instant initial, le matériau doit être fondu de telle façon que le germe soit juste à la température de fusion. A l'instant final le matériau doit être tout entier en dessous de la température de solidification. En cours d'évolution la forme de l'interface doit rester stable. Après avoir fait une étude fine de la modélisation du processus, M. Marguliès a écrit le problème de contrôle. La variable d'état est l'enthalpie du système. Le procédé est régi par une EDP non linéaire (problème de Stefan avec changement de phase et conditions de flux non linéaire sur la frontière). Ce problème non linéaire est traité avec les méthodes développées par E. Magenes, C. Verdi et A. Visintin. La recherche des paramètres optimaux est un problème d'optimisation non convexe avec contraintes non linéaires. M. Marguliès utilise une méthode de lagrangien qui fait appel au calcul de l'adjoint adapté à la méthode de résolution choisie pour le problème direct. La rédaction de sa thèse est très retardée du fait de son embauche à la Cisi depuis le 1/11/94.
Par ailleurs S. Despreaux commence une thèse sur la
détermination d'une forme optimale en cristallogénèse. Une étude
numérique a été réalisée par F. Babik dans son projet de 3ème
année [36].
Problèmes autour du phénomène de capillarité [45]:
Stéphane Bouchereau travaille sur la modélisation et la
simulation numérique de l'évolution d'un fluide sous l'effet
conjugué des forces de tension superficielle et d'un champ
électrique. Une goutte de liquide est posée sur un support
conducteur. En l'absence de champ électrique la forme de
l'interface résulte de l'équilibre entre les forçes de tension
superficielle et de gravitation. Lorsque l'on met la goutte sous
une tension V et que l'on fait croître V on observe une
déformation de la surface libre. Il s'agit de calculer cette
déformation. S. Bouchereau à tout d'abord envisagé le cas
axisymétrique ce qui est raisonnable pour des valeurs du
potentiel entre 0 et 600 Volts. Il a écrit un code de calcul par
éléments finis pour la résolution du problème direct et une
méthode de type cheminement avec pour paramètre V. Les résultats
peuvent être comparés pour des petites valeurs du potentiel avec
ceux obtenus par une approximation condensateur plan
habituellement faite par les physiciens. Cependant on constate
les limites de la méthode numérique lorsque l'angle de contact
entre la goutte et le substrat devient très faible. Le calcul du
potentiel est un problème de transmission dans un ouvert à coin
qui devient singulier. Pour aller au delà des 600 volts il était
donc nécessaire de passer en 3-D et de considérer les
singularités qui apparaissent, portées par la frontière. S.
Bouchereau termine actuellement la mise en place d'une méthode de
calcul par éléments frontières et intégrales singulières.