Participants : Marianne Akian, Jean-Pierre Quadrat, Michel Viot
Nous développons une théorie des probabilités dans laquelle le
demi-corps 
est
remplacé par le demi-corps idempotent 
muni des opérations min et plus, appelé algèbre
min-plus. Ceci permet d'étudier l'optimisation et le contrôle
optimal au moyen du formalisme probabiliste. Sous certaines
conditions, la probabilité (appelée ici mesure de coût) d'un
ensemble correspond au minimum d'une fonction sur cet ensemble
[42]. Imposer à l'analogue d'une
variable aléatoire d'appartenir à un ensemble est équivalent à
mettre des contraintes au problème d'optimisation. A la propriété
de Markov correspond le principe de la programmation dynamique de
Bellman. L'analogue des processus de Markov sont les problèmes de
commande optimale que nous appelons donc processus de Bellman....
L'analogue max-plus des différentes notions de convergence
(presque sûre, en probabilité, faible) et leurs relations ont été
établies dans [43].
Cette année, nous avons étudié plus avant la notion de
convergence faible, établi les liens avec la convergence en
épigraphe étudiée en analyse convexe et introduit la notion de
mesure de coût tendue [4]. La
tension d'une suite de mesures de coût implique la compacité de
cette suite. A partir de ce critère de compacité, nous avons
établi un théorème de la limite centrale général. Les normes
que nous avions
introduites précédemment [43,4]
nous ont fourni des critères de tension et donc de compacité dans
les espaces fonctionnels. Nous en avons déduit la convergence de
certaines approximations de processus de Bellman par la même
méthode que celle utilisée pour l'approximation du Brownien.
En probabilité, les théorèmes de la limite centrale sont associés aux distributions stables. Les analogues min-plus de ces lois stables existent. Ces distributions, ainsi que leurs inf-convolutions fournissent des solutions analytiques à certaines équations d'Hamilton-Jacobi-Bellman et peuvent parfois se voir comme l'image par la transformée de Cramer de distributions stables classiques [4]. Les relations entre les notions que nous avons introduites et leurs analogues classiques via les grandes déviations et la transformée de Cramer sont en cours d'étude.