Stabilité et questions connexes

Participants : Guy Fayolle , Roudolf Iasnogorodski

• Les recherches sur l'intégrabilité de certaines fonctionnelles des temps d'atteinte d'ensembles compacts A, pour des chaînes de Markov, ont produit de nouveaux résultats, obtenus par Iasnogorodski, en collaboration avec S. Aspandiiarov (Université Paris 6) et M. Menshikov. La motivation venait du rôle important joué par ces moments dans les théorèmes limites concernant ces chaînes. Dans [7], on obtient des critères généraux d'existence de l'espérance , pour des processus unidimensionnels à dérives asymptotiquement nulles. En liaison avec la théorie du mouvement brownien réfléchi, on déduit notamment la valeur critique maximale, telle que , lorsque l'espace d'états est .
  Dans [5,6], on étend les critères donnés dans [7], afin d'étudier le comportement fin de la queue de la distribution de et la vitesse de convergence vers la loi stationnaire. Enfin, dans [20], on caractérise la queue des mesures invariantes dans , partant là encore de propositions valables pour des espaces d'états dénombrables. Actuellement, des études sont en cours pour classifier finement les chaînes évoluant dans des polyhèdres de .
• On avait résolu le problème de non ergodicité et de récurrence nulle pour des marches aléatoires dans le quart de plan, lorsque les dérives moyennes sont nulles à l'intérieur de cette région, les sauts ayant des moments d'ordre deux finis (cf. RA94). Un critère de récurrence nulle, faisant intervenir la comparaison d'une sous-martingale et d'une sur-martingale avait été donné, avec des fonctions de Lyapounov de la forme , Q étant une forme quadratique. Dans [8], la classification transience versus récurrence, plus délicate, a été obtenue (sous des hypothèses minimales) par G. Fayolle, en collaboration avec I.M. Asymont et M. Menshikov de l'Université de Moscou. Les conditions sont naturelles, i.e. symétriques des précédentes, mais les fonctions de Lyapounov ne s'expriment pas comme des fonctionnelles directe de formes quadratiques.