Participants : Laurent Baratchart, José Grimm (Projet SAFIR), Juliette Leblond, Jonathan Partington (Univ. Leeds, GB), Fabien Seyfert, Nabil Torkhani, Franck Wielonsky
L'élaboration de modèles linéaires stables (de dimension
infinie) à partir de données fréquentielles suppose les données
disponibles dans une bande de fréquence 
. A l'extérieur de 
, on se dote d'une fonction représentant un
comportement de référence ainsi que d'un gabarit qui exprime
combien on accepte de s'en départir. On se ramène par
transformation conforme au cas du cercle unité T,
l'intervalle 
de l'axe
imaginaire correspondant alors à un arc de cercle K. Le
degré n'étant pas contraint à ce stade, nous considérons le cas
scalaire en abordant le problème composante à composante si le
système a plusieurs entrées ou sorties. L'appartenance de la
fonction de transfert à l'espace de Hardy 
caractérise les propriétés de stabilité
imposées au modèle selon le choix de p. On cherche ainsi
une fonction de 
,
prenant sur K des valeurs proches des données
expérimentales, et satisfaisant sur 
aux exigences de gabarit, de sorte que le
problème s'énonce comme une généralisation d'un problème extrémal
classique:
(P) Soient 
, K
un arc du cercle unité T, 
, 
et
M>0 ; on cherche une fonction 
telle que la norme de la différence g -
h dans 
n'excède
pas M et telle que g - f soit de norme minimale
dans 
.
Les propriétés qualitatives de tels problèmes, que nous nommerons
Problèmes extrémaux bornés sont en tout point semblables
aux problèmes extrémaux classiques, et les études menées depuis
trois ans dans le projet peuvent se résumer en disant qu'un
problème extrémal borné est implicitement équivalent à un
problème extrémal classique, le paramètre implicite
s'interprétant comme un multiplicateur de Lagrange. Pour
, l'existence et
l'unicité d'une telle fonction g (qui avaient été établies
il y a déjà longtemps) ont fait l'objet d'un article soumis à
Constructive Approximation lequel exhibe aussi les liens,
peut-être inattendus, avec les formules de Carleman et explicite
par ce biais la solution si p=2. Rappelons que pour
, nous avions montré
l'équivalence entre (P) et un problème de Nehari
classique, et conclu ainsi à l'unicité de g lorsque
, la fonction de
qui vaut f sur
K et h sur 
, appartient à 
. Ce travail a fait l'objet de la publication
[8]. Des schémas de
résolution du problème (P) ont été élaborés et implémentés
dans le passé pour p = 2 et 
. Lorsque 
, une telle procédure est à l'étude dans la thèse de
F. Seyfert. Il s'agit, à notre sens, d'un problème intéressant au
plan pratique car la norme 
est un compromis raisonnable dans plusieurs cas.
Cependant, le problème s'avère plus difficile que dans le cas
hilbertien p=2 ainsi que dans le cas 
, pour lesquels les procédures de
résolution des problèmes extrémaux sur T sont linéaires et
quadratiques respectivement.
La valeur à l'infini joue un rôle particulier dans ce
contexte. En effet, le terme de transmission directe n'est pas
localement borné dans la réponse impulsionnelle d'un système
linéaire et rend impossible l'appartenance de la fonction de
transfert à 
pour
. L'identification de
cette valeur s'avère importante pour la qualité de
l'approximation et procède actuellement au cas par cas, soit que
l'on connaisse le terme de transmission pour des raisons
physiques (en particulier lorsqu'il est nul), soit que l'on
ajuste sa valeur pour réduire les oscillations du modèle à
l'infini. C'est typiquement le cas des données concernant des
filtres hyperfréquences que nous a fournies le CNES et dont il
sera question plus loin : les voies de transmission sont
strictement propres pour des raisons physiques (le filtre ne
transmet rien aux hautes fréquences) cependant que les voies de
réflexion restituent les fréquences infinies avec un coefficient
voisin de 1 mais qui n'est pas exactement connu (car il dépend de
pertes occasionnées par des conducteurs que l'on n'a pas mesurés
parfaitement). De plus, le cas est fréquent où le système est
convenablement approché par un retard superposé à un transfert
rationnel. Pour un tel modèle, la valeur à l'infini stricto
sensu n'existe pas et il faudrait plutôt parler de valeur
moyenne.
On étudie présentement des moyens de parvenir à une
détermination plus systématique du retard, et du gain à l'infini.
Cette question, qui se présente de façon assez générique, fait
l'objet d'une proposition de convention de recherche en cours de
signature avec le CNES. L'algorithme envisagé repose sur la
résolution d'une famille paramétrée de problèmes extrémaux bornés
dans 
, et se propose
de déterminer gain et retard comme ceux qu'il faut ôter aux
données dans la bande passante pour effectuer ensuite la
meilleure extension analytique. Il n'est pas difficile de se
convaincre que ce problème est délicat numériquement, et
nécessite l'usage de développements adaptés dans 
. En particulier, la base de
Fourier s'est avérée peu efficace, et une base de fonctions
rationnelles exhibant un taux d'approximation asymptotiquement
optimal de la projection analytique de la fonction
caractéristique d'un intervalle (obtenue en 1977 par Vjaceslavov
après des travaux antérieurs de Newman) a été implémentée afin
d'inverser certains opérateurs de Toeplitz liés aux formules de
Carleman qui apparaissent dans cette question. Avec ces nouvelles
fonctions de base, on peut se contenter d'un ordre de
développement bien moindre que dans la base de Fourier (le gain
est exponentiel sur ce point), mais le calcul des nouveaux
coefficients est lourd car il requiert l'évaluation d'intégrales
singulières. Cette approche est à l'étude.
Très relié au problème extrémal borné se trouve le problème de complétion suivant :
(P') Soient 
, K un arc du cercle unité T, 
, et M>0 ; on cherche
une fonction 
dont la
norme n'excède pas M et telle que la distance de
à 
soit minimale dans 
.
Dans le cas p = 2, le problème (P') a été
résolu. La preuve de l'existence et de l'unicité d'une solution
ainsi que sa construction et des simulations numériques se
trouvent dans [19] et [2]. Ces questions se ramènent à la
construction d'une solution au problème (P). Dans le cas
, le problème
(P') a été récemment résolu ; dans ce cas aussi, la
construction d'une solution passe par la résolution itérative de
(P) pour une famille de fonctions dépendant de paramètres
implicites en les données. Ce travail, en collaboration avec J.R.
Partington de l'Université de Leeds est en cours de
rédaction.