Participants : Laurent Baratchart, Juliette Leblond, Jonathan Partington (Univ. Leeds, GB), Nabil Torkhani
Dans le cas 
,
l'implémentation de l'algorithme de résolution du problème
(P) fait partie de la thèse de N. Torkhani et le programme
donne des résultats satisfaisants sur des jeux de données fournis
par le CNES. Cependant, pour pallier au défaut de continuité de
l'opérateur de meilleure approximation de 
dans 
, susceptible de provoquer des avatars numériques
importants, et aux discontinuités sur T de la solution
g du problème (P), nous avions entrepris la
construction d'une solution 
au problème suivant.
Supposons données des mesures de la forme 
où les points de mesures 
appartiennent à un sous--arc
K du cercle unité et où f appartient à l'algèbre du
disque ( i.e. est la fonction de transfert d'un système
linéaire stable qui peut être approché en norme d'opérateur
par un système de
dimension finie), cependant que la suite 
est bornée dans 
et représente un bruit déterministe. Le problème
d'identification auquel se consacre la thèse de N. Torkhani est
alors le suivant.
(P2) Etant donnés 
, r>0, on cherche une suite de fonctions
approximant
robustement f sur K :
et qui, sur 
,
satisfasse la contrainte de gabarit :
Lorsque K=T, de sorte qu'il n'y a pas de contrainte de
gabarit, et si les données disponibles sont denses sur le cercle,
il s'agit d'un problème d'identification robuste ordinaire, du
type de ceux introduits par Helmicki, Jacobson, et Nett puis
raffinés par Gu, Kargonekhar, Makilä et Partington notamment. Si
K est un sous--arc strict de T, cas plus réaliste
puisque les données sont confinées à la bande passante, nous
avons prouvé que si 
est dense dans K, si 
, si r est 
-Lipschitz sur 
, 
, et
nulle aux extrémités de K, il existe une suite
d'applications 
telle
que 
soit solution de
(P2) pour toute fonction 
telle que 
pour tout 
.
La preuve de ce résultat procède en deux étapes comme les
algorithmes classiques. La première est une interpolation
convergente (non analytique) des données 
complétées par des valeurs discrétisées de
h, pour laquelle on peut adapter à un intervalle les
polynômes trigonométriques de Jackson et de la Vallée--Poussin,
ou encore utiliser des polynômes de moindre déviation dont le
degré est de l'ordre de 
. La seconde étape est un problème extrémal borné qui
joue ici le rôle que l'extension de Nehari tient dans les
problèmes classiques. Cependant, la solution de (P) est
typiquement discontinue et la satisfaction de la contrainte
nécessite un
ajustement implicite des paramètres du problème extrémal. Ceci a
fait l'objet de la thèse de N. Torkhani [2], qui contient notamment dans le
cas 
une
implémentation de l'algorithme de résolution du problème
(P). Le programme donne des résultats satisfaisants sur
des jeux de données fournis par le CNES.
En liaison avec les résultats précédents, nous avons été conduits à nous interroger sur le choix de h, c'est à dire sur le comportement de la fonction de transfert. Il semble que l'on puisse exploiter pour cela une complétion de type (P').