Mots clefs : automatique, identification de matrice de transfert, approximation, optimisation
La détermination d'un modèle quantitatif à partir de données expérimentales porte, en traitement du signal et en automatique, le nom d'identification. Une littérature très vaste et de nombreux logiciels existent aujourd'hui en identification paramétrique, où le paradigme consiste à définir la loi du modèle à l'aide de paramètres inconnus pour les ajuster ensuite aux données dont on s'est muni. Ceci s'effectue, typiquement, dans un contexte probabiliste et consiste grosso modo à soumettre le système à des entrées dont la statistique est connue puis à inférer la valeur la plus probable des paramètres à partir des statistiques observées de la sortie. Dans ce processus, l'adéquation statistique des entrées n'est pas le moindre élément car celles-ci doivent, pour une bonne identification, exciter les différentes parties du système. Par ailleurs, la mesure théorique de la qualité d'un algorithme de ce type est l'efficacité statistique avec laquelle on converge vers les ``vrais'' paramètres (si on fait l'hypothèse que le système est du type prescrit) ou vers les paramètres de la meilleure estimée du modèle en des sens divers.
Un autre type d'identification, plus pragmatique en un sens, consiste à traiter les données qui se présentent sans se préoccuper d'un modèle exact au plan global mais en recherchant une approximation convenable dans le domaine de fonctionnement. Récemment, un certain nombre de travaux se réclamant de l'identification pour le contrôle ont souligné le fait, à vrai dire assez naturel, que la qualité locale de l'approximation n'est pas nécessairement préservée par feedback. Cependant, et hormis la conclusion qu'il est dangereux de modéliser séparément le système et son compensateur, on ne peut éluder le caractère fondamentalement local de l'identification qui tient à celui de la classe de modèles. Un exemple prototypique est l'identification harmonique, couramment rencontrée en ingénierie, où les données sont les réponses du système à des excitations périodiques dans sa bande passante de fréquences. On cherche en général un modèle linéaire et stable qui décrive correctement le fonctionnement dans cette bande passante, bien que ce modèle puisse être médiocre aux hautes fréquences qu'on ne peut d'ailleurs guère mesurer. On dispose donc d'une estimation des valeurs de la fonction de transfert à certaines fréquences, et on veut bâtir à l'aide de celles-ci un modèle reflétant bien le système dans la bande passante et doté d'un amortissement suffisant en dehors de celle-ci. On souhaite aussi que ce modèle soit rationnel et de degré raisonnable s'il se peut, afin de pouvoir l'utiliser efficacement pour le contrôle ou l'estimation, mais son ordre n'est pas toujours prescrit a priori. Enfin, aucune statistique n'est disponible sur les erreurs, qui proviennent autant des défauts de mesure que du caractère erroné de l'hypothèse de linéarité.
Le projet est actif à la fois en identification paramétrique et en identification harmonique, privilégiant les aspects reliés à la théorie des fonctions et à celle des opérateurs. Si la contribution en identification paramétrique est essentiellement de nature technique et porte sur des schémas par ailleurs classiques, les algorithmes développés pour l'identification fréquentielle prétendent à une certaine originalité méthodologique. Une des caractéristiques de notre approche est la dissociation entre une étape d'identification proprement dite, qui fournit un modèle de dimension infinie --numériquement de dimension grande-- et une étape d'approximation rationnelle destinée à réduire l'ordre.
Dans ce contexte, il est souvent important de disposer
d'approximants rationnels optimaux ou sous-optimaux en un certain
sens, parce que l'on veut tirer le meilleur parti de l'ordre
alloué au modèle. L'approximation rationnelle dans le domaine
complexe est un sujet classique et ardu. En relation avec
l'Automatique, deux éléments de difficulté supplémentaires s'y
greffent, à savoir la nécessité de contrôler les pôles des
approximants (pour la stabilité) et celle de traiter le cas
matriciel. Ceci induit une dichotomie dans notre abord des
problèmes, qui est de mettre au point en priorité des théories et
des algorithmes dans le cas scalaire avant de tenter de les
généraliser au cas multivariable, et explique en partie notre
investissement sur le problème de l'approximation rationnelle
dans 
qui fournit
naturellement des approximants stables. Notons d'ailleurs qu'en
matière d'approximation analytique au sens 
, les valeurs p=2 et 
sont d'un intérêt particulier en
Automatique : la première parce qu'elle correspond à une
identification paramétrique au minimum de variance lorsque
l'entrée est un bruit blanc (dans le cas d'un bruit coloré il
faut pondérer le critère par sa densité spectrale) et également à
la minimisation de l'erreur en norme d'opérateur 
dans le domaine temporel ; la
seconde parce qu'elle correspond à la minimisation de l'erreur au
plan de la transmission d'énergie.
Pour des raisons de commodité nous abordons souvent les questions précédentes non sur l'axe imaginaire mais, ce qui est équivalent, sur le cercle unité où elles correspondent à des considérations analogues pour les systèmes à temps discret.