Participant : Elisabeth Rouy
Nous avons déjà rencontré une équation d'Hamilton-Jacobi
d'ordre 1 en 3.1.3 pour les questions de formage. Ici, nous
mentionnons des travaux pour des équations d'Hamilton-Jacobi
d'ordre 2 avec des fonctions inconnues définies sur un espace de
Hilbert. Elles interviennent naturellement en contrôle optimal. A
titre d'illustration, on peut citer l'exemple suivant : imaginons
que nous contrôlions la température 
d'une pièce 
par l'intermédiaire d'un contrôle sur des radiateurs
placés le long des parois 
de la pièce et que la mauvaise qualité de
l'isolation introduise une incertitude sur la température,
modélisée par un bruit blanc. Alors, 
est solution d'une équation stochastique. Si
maintenant, on cherche à optimiser un critère en faisant varier
le contrôle, alors le minimum de ce coût satisfait une équation
d'Hamilton-Jacobi dans l'espace (de dimension infinie) sur lequel
est défini le processus 
.
Plus précisément, soit X un espace de Hilbert séparable
et 
, l'espace des
fonctions réelles uniformément continues et bornées sur X.
Pour 
et 
, on cherche 
solution de l'équation
d'Hamilton-Jacobi
où Q est un opérateur borné auto-adjoint et positif sur
X, A est le générateur infinitésimal d'un
semi-groupe fortement continu de type négatif sur X,
F est une fonction de X dans X bornée et
lipschitzienne et H de X dans 
est lipschitzienne.
On montre dans [11] que, lorsque l'hypothèse dite de controlabilité nulle sur ce système est satisfaite, l'équation admet une solution unique u. On montre qu'elle est la fonction valeur d'un problème de contrôle optimal stochastique du type décrit ci-dessus et qu'on explicite complètement. Sous des hypothèses de régularité, on peut aussi donner le contrôle optimal sous forme de feedback.