Nous regroupons dans cette section les travaux concernant les modèles où interviennent des frontières libres, des formes, et les problèmes qui leur sont connexes, soit par le type d'applications sous-jacentes, soit par les questions mathématiques posées.
L'une des motivations principales concerne la modélisation des procédés de traitement électromagnétique des métaux liquides. Comme expliqué dans les rapports d'activité des années précédentes, ceci recouvre de nombreuses applications dont certaines correspondent à des procédés déjà bien établis dans les traitements industriels des métaux : coulée de lingots d'aluminium par confinement électromagnétique, chauffage par induction, fusion des métaux, traitements de surfaces, trempe de pièces de sécurité, brassage électromagnétique, ... ; d'autres sont en cours d'étude : formage, coulée en creuset froid, lévitation, guidage et freinage, nouveaux traitements de surface,....
Nous nous intéressons aux aspects de modélisation (sous-section 3.1.1), à l'approximation numérique et à la simulation numérique de certains des modèles (3.1.1-3.1.2), aux questions d'analyse mathématique qu'ils soulèvent et dont l'intérêt va bien au-delà de ces seuls modèles (3.1.3).
D'autres questions sur les formes (contrôle, sensibilité), souvent motivées par des applications différentes, sont présentées dans 3.1.4. La sous-section 3.1.5 concerne une large classe de problèmes à frontières libres, issus des modèles de transitions de phase dans les matériaux et nouvellement introduits dans le projet avec l'arrivée récente de Ph. Laurençot.
Les trois autres sous-sections concernent plus des questions qui, d'un point de vue mathématique, sont connexes à l'une ou l'autre de celles abordées ci-dessus ou utilisent directement le même type de compétence. La sous-section 3.1.6 concerne la résolution numérique d'une équation intégrale sur une surface fermée, intervenant en chimie moléculaire : l'optimisation numérique des formes 3-d en 3.1.2 requiert aussi ce type de résolution. La section 3.1.7 relève du contrôle optimal orienté vers l'étude des équations d'Hamilton-Jacobi associées : les résultats sur les formes inverses mentionnés en 3.1.3 reposent aussi sur l'analyse d'une équation de ce type, mais du 1er ordre. Enfin, la sous-section 3.1.8 mentionne notre collaboration avec le projet lorrain ISA où nous apportons notre compétence mathématique pour des applications qui les concernent : à nouveau, résolution d'une équation intégrale sur une surface, traitement de formes et courbes dans l'espace.
Plusieurs des thèmes de cette section font l'objet d'opérations spécifiques au sein du Centre Charles Hermite (CCH). A chaque fois, des réflexions sont en cours pour la recherche et l'étude d'algorithmes parallèles. Nous n'avons pas isolé dans la présentation cet aspect de la recherche dans la mesure où cette orientation s'inscrit dans la continuité naturelle des questions déjà abordées dans le projet. Elle correspond à un effort plus particulier en matière de calcul parallèle.