Participant : Bopeng Rao
Nous avons étudié la stabilisation d'une plaque élastique
mince bordée le long d'une partie du bord d'une collerette qui
possède masse et moment frontière d'inertie. Plus précisément,
soit 
un ouvert borné
de frontière régulière 
, composée de deux morceaux disjoints : 
la partie encastrée et
la partie bordée sur
laquelle sont appliqués des contrôles frontières. La vibration de
la plaque est gouvernée par l'équation de plaque associée à deux
conditions aux bords dynamiques
où 
est le vecteur
normal extérieur, 
est
le vecteur tangentiel, 
est le coefficient de Poisson, 
est la densité linéique de la frontière
et J>0 est le moment de flexion d'inertie de la
frontière. Les 
sont
des opérateurs frontières classiques associés à l'équation de
plaque.
Nous avons choisi les contrôles frontières comme suit :
où L est l'isomorphisme canonique de 
sur 
pour 
.
A cause des dérivées d'ordre élevé, telles que 
et 
, les deux dernières conditions aux bords du
système doivent être traitées comme deux équations
différentielles ordinaires. Ainsi nous obtenons un système
composé d'une équation aux dérivées partielles et deux équations
différentielles ordinaires, c'est-à-dire un système hybride.
Pour ce genre de problèmes, une méthode classique développée par Littman et Markus (1988) est basée sur le spectre du système. Grosso modo, si le spectre du système s'approche asymptotiquement de l'axe imaginaire, alors le système n'a pas de taux de décroissance uniforme d'énergie. Si de plus les vecteurs propres du système forment une base de Riesz, alors la solution régulière du système a un taux de décroissance rationnel. Cette méthode est lourde et ne s'applique pas aux problèmes de dimension d'espace supérieure à un.
Dans l'analyse du modèle SCOLE, nous avons introduit une nouvelle méthode, qui est basée sur un résultat de perturbation compacte dû à Russell (1975). A la différence de la méthode classique, celle-ci n'a pas besoin de connaître le spectre du système. Par conséquent, elle s'applique à bien d'autres problèmes.
En utilisant le principe d'invariance de LaSalle, nous avons
montré d'abord que le système hybride (1)-(2) est fortement
stable pour tout 
.
Puis par la méthode de perturbation compacte, nous montrons que
le système hybride (1)-(2) est non-uniformément stable si
s>0. Dans le cas s=0, par une nouvelle méthode
de multiplicateur, nous avons établi le taux de décroissance
rationnel de l'énergie pour des solutions régulières. Cette
méthode de multiplicateur est générale et n'a besoin d'aucune
connaissance sur le spectre du système. Nous renvoyons à
[41,40,74]
pour tous les résultats de ce paragraphe.