Comportement asymptotique et attracteurs pour des évolutions non linéaires

Participants : Saïd Benachour, Mimoun Benmimoun, Djebar Hammouche, Yue-Yun Hu, Philippe Laurençot, Pierre Vuillermot

Un investissement important a lieu au sein du projet sur l'étude du comportement asymptotique pour différents modèles d'évolution non linéaires, soit par des méthodes géométriques de systèmes dynamiques, soit par des méthodes d'estimations EDP, soit le plus souvent par une association des diverses techniques, avec la mise en évidence d'attracteurs et de leurs propriétés qualitatives. Les diverses contributions sont décrites ci-dessous.

• Des méthodes géométriques sont utilisées pour l'étude des propriétés asymptotiques fines de problèmes paraboliques semilinéaires non-autonomes. Elles permettent d'identifier l'attracteur global, d'en étudier sa structure et de déterminer le taux d'attraction de toute orbite du système donné. Une des difficultés essentielles surmontée récemment est le problème de l'existence de dichotomies exponentielles pour un opérateur différentiel du 2nd ordre non-autonome sous forme divergentielle ainsi que la dépendance de la non-linéarité en fonction du gradient de la fonction inconnue (cf. [6,7,8].
• Cette étude a été étendue au cas de champs stochastiques solutions d'équations paraboliques semi-linéaires stochastiques avec bruit blanc multiplicatif. En collaboration avec I.D. Chueshov, plusieurs résultats ont été obtenus récemment dans cette direction pour le cas où les coefficients des problèmes paraboliques considérés sont des processus stochastiques à trajectoires presque partout höldériennes [63,62]. Notons que ces activités donnent lieu à une interaction forte avec les probabilistes nancéiens du projet OMEGA.
• Une analyse asymptotique de modèles de transitions de phase du type de ceux décrits en 3.1.5 a été réalisée en collaboration avec C. Dupaix (Orsay/Besançon) et D. Hilhorst (Orsay). Nous étudions la stabilité de l'attracteur où c est le coefficient de dans la 2ème équation du système 3.1.5 lorsque c tend vers zéro. Nous montrons alors la semicontinuité supérieure de la famille , l'attracteur limite étant l'attracteur associé à l'équation limite de Cahn-Hilliard avec viscosité(voir 3.1.5) [65,18].
• En collaboration avec E. Feireisl (Prague) et F. Simondon (Besançon), nous avons montré l'existence de l'attracteur maximal compact pour des équations paraboliques dégénérées avec réaction dans , en travaillant dans l'espace , où est une fonction positive, intégrable et tendant vers 0 lorsque ([9,10]. Cette collaboration se poursuit dans la perspective d'obtenir des renseignements plus précis sur le comportement pour les grands temps des solutions de ce type de problèmes lorsque la variable d'espace décrit .
• Dans un travail en cours de rédaction avec F. Simondon (Besançon), nous décrivons le comportement pour les grands temps des solutions d'équations paraboliques dégénérées de type milieux poreux avec convection dans . Un point crucial de cette étude est l'existence et l'unicité d'une solution de certains problèmes dégénérés avec donnée initiale une masse de Dirac.
• Un type un peu différent d'évolution est abordé dans [55] où il est montré l'existence de l'attracteur maximal compact dans pour l'équation de Korteweg-de Vries faiblement amortie.
• Un point important d'intérêt commun avec le projet OMEGA concerne certaines équations aux dérivées partielles non linéaires. Celles-ci interviennent naturellement pour décrire les densités de probabilités des processus non linéaires étudiés dans OMEGA. L'étude stochastique utilise souvent des résultats connus sur les EDP non linéaires (c'est le cas pour l'équation de diffusion non linéaire dite des milieux poreux [47]). Inversement, les méthodes probabilistes fournissent des outils très fins pour décrire les propriétés des solutions . Ainsi, des descriptions précises du comportement asymptotique dans peuvent être obtenues pour des équations semi-linéaires du type

  

  Nous renvoyons à [3,48] pour divers résultats dans ce sens.