Participants : Jean-Daniel Boissonnat, Elena Degtiariova-Kostova
Nous considérons le problème de trouver les trajectoires les
plus courtes joignant deux points dans 
, la dérivée de la courbure étant bornée par une
constante B, les angles tangents et les courbures du
départ et de l'arrivée étant donnés, l'angle tangent et la
courbure de la trajectoire étant continus.
Le problème est motivé par la planification de trajectoires d'un robot mobile (de type voiture). La courbure de la trajectoire est donnée par la position du volant qui peut changer avec une vitesse bornée, d'où la borne B sur la dérivée de la courbure.
Des travaux préliminaires ont montré que la trajectoire
optimale est formée de segments de droite et d'arcs de clothoïde.
Dans un système de coordonnées commode une clothoïde est donnée
par les intégrales de Fresnel : 
, 
.
Si la distance entre les positions initiale et finale est plus grande qu'une constante qui dépend de la borne B sur la dérivée de la courbure, on prouve que les trajectoires optimales génériques sont irrégulières (i.e. la fonction contrôle a une infinité de points de discontinuité) [35].
Travail effectué en collaboration avec A. Cérézo et V.P. Kostov, Laboratoire de Mathématiques de l'Université de Nice-Sophia-Antipolis