Participants : Fabien Campillo, Frédéric Cérou, Etienne Pardoux, Elisabeth Remy
Mots clefs : processus stochastique, équation aux dérivées partielles, équation différentielle stochastique, algorithme numérique, algorithme parallèle, analyse numérique, approximation, calcul scientifique
Le but de l'homogénéisation consiste, partant d'un milieu inhomogène périodique (déterministe) ou désordonné (aléatoire), à trouver un milieu homogène dont le comportement soit similaire ``à grande échelle''. Les caractéristiques du milieu homogène sont alors qualifiés d' effectives, ou homogénéisées.
Classiquement, il y a deux approches possibles.
La première, analytique, utilise les outils de l'analyse
fonctionnelle et consiste, à partir d'une EDP par exemple du type
A u=f (où A est une opérateur aux dérivées
partielles dont les coefficients de la variable d'espace x
sont aléatoires), à considérer le comportement, lorsque
, de 
solution de 
avec 
. Sous certaines hypothèses, on montre alors la
convergence de 
vers
solution de
où 
est un opérateur à coefficients constants
caractérisant le milieu homogénéisé (
).
L'autre approche, probabiliste, considère un processus de
diffusion dans un milieu aléatoire (i.e. les coefficients de
l'EDS correspondantes sont aléatoires). Si on note 
le processus de diffusion, on
montre alors des résultats de type ``théorème central limite''
pour le processus renormalisé 
lorsque 
.
Le processus limite est brownien d'intensité D appelée
``matrice de diffusion effective'' ().
Après un tour d'horizon des résultats et méthodes disponibles dans la littérature, nous nous sommes intéressés à un problème en relation avec l'ingénierie des réservoirs pétroliers (cf. paragraphe 4.1).