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Arithmétique en très grande précision

Autre constituant nucléaire du calcul formel, l'arithmétique des grands nombres a énormément progressé ces dernières années, progrès motivé par l'application à la cryptologie à clefs publiques. La thèse de F. Morain (soutenue en 1990), portant sur l'utilisation des courbes elliptiques dans l'étude de la primalité des entiers, et qui lui vaut toujours d'être détenteur de records du monde dans le domaine, l'a naturellement conduit à approfondir les liens entre calcul formel, courbes algébriques, arithmétique et cryptologie. Il a poursuivi dans [17] et [18] certains des travaux de sa thèse, ce qui l'a entraîné dans des développements théoriques novateurs, concernant l'évaluation des sommes de caractères.

Une des tâches récentes de F. Morain a été de participer au mouvement qui a complètement ``algorithmisé'' un des principaux problèmes liés aux courbes elliptiques, celui du calcul de la cardinalité d'une courbe dans un corps fini de grande caractéristique. Grâce à ses travaux, il est désormais possible de construire des cryptosystèmes basés sur des courbes elliptiques, et qui sont plus robustes que leurs équivalents classiques, à taille de clefs comparables.

Poursuivant et amplifiant les travaux de Schoof, Atkin et Elkies, F. Morain [22] a simplifié et optimisé les algorithmes de calcul d'isogénies entre courbes elliptiques, qui sont au coeur des avancées récentes. Avec l'aide de J.-M. Couveignes (originellement à l'ENS, et maintenant à Bordeaux I), il a mis au point des raffinements de l'algorithme qui l'ont conduit à battre le record du monde une première fois. D'autres astuces, décrites dans [38], lui ont permis de garder son record, malgré une concurrence internationale féroce.

En petite caractéristique, Reynald Lercier (École polytechnique) et F. Morain ont décortiqué un algorithme inventé par Couveignes pour résoudre les problèmes spécifiques de la petite caractéristique [51, 52]. Outre l'étude approfondie des courbes elliptiques, F. Morain s'est intéressé également aux problèmes liés aux nombres pseudopremiers (c'est-à-dire aux nombres composés résistant aux tests de primalité faibles), ce qui a fait l'objet d'un travail en collaboration [12].

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