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Applications algorithmiques

Les processus d'arbres liés aux ensembles ordonnés se retrouvent dans les arbres binaires de recherche, les arbres d'index, les arbres pour la recherche multidimensionnelle, dans les bases de données géographiques par exemple. Il a été montré par Ph. Flajolet et X. Gourdon [39] que les arbres d'index sont ``sûrs'' au sens que leur occupation mémoire (qui fluctue de manière gaussienne) est très étroitement centrée autour de ce que prédit le cas moyen. Les propriétés aléatoires (donc les performances des algorithmes) des arbres quadrants sont désormais bien comprises grâce à l'analyse de singularités de systèmes différentiels et à la théorie de la perturbation associée [27]. Au passage apparaissent certaines sommes dont la simplification pose de délicats problèmes de fonctions spéciales (polylogarithmes) et de calcul formel ; voir [41].

La dynamique d'un algorithme est jusqu'ici peu prise en compte par la théorie combinatoire. À terme, on pourrait espérer mieux comprendre les phénomènes où l'aléa n'est plus hérité par les sous-structures. Une première ouverture en direction de la théorie des systèmes dynamiques a ainsi été réalisée par Ph. Flajolet en collaboration avec Brigitte Vallée (université de Caen). Le rôle des opérateurs de transfert est apparu comme crucial à la compréhension des fonctions de coût de certains algorithmes arithmétiques (tels les très classiques développements en fraction continue et l'algorithme d'Euclide) ou géométriques (telles les méthodes numériquement stables pour déterminer l'orientation en algorithmique géométrique). Les premiers travaux dans ce sens sont en cours de publication [6, 43]. Par de nombreux égards, les opérateurs sont une généralisation naturelle des séries génératrices pour la prise en compte de tels phénomènes dynamiques en analyse d'algorithmes.

Enfin, M. Soria, Ph. Flajolet et H.-K. Hwang (ancien stagiaire du projet, désormais membre de l'Academia Sinica à Taïwan) ont commencé une synthèse d'envergure visant à expliquer en termes simples la fréquence extrême d'apparition de la loi de Gauss en combinatoire analytique.

La plupart des travaux mentionnés ont, implicitement ou explicitement, une portée unificatrice : rôle des lois de Poisson et de Gauss en combinatoire analytique, importance des phénomènes oscillatoires (fractals ou non) en algorithmique, lois transverses des maxima ou des modèles d'urnes, par exemple. Ils permettent de tirer un certain nombre de conclusions simples telles :

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la phase coûteuse de factorisation de polynômes est celle de la factorisation en degré distincts, sur laquelle doit alors porter l'optimisation principale (travaux en cours de X. Gourdon et D. Panario (Waterloo) sur les algorithmes de Shoup) ;

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les fonctions cryptographiques usuelles (de type DES, par exemple) doivent présenter un petit nombre de grandes composantes maximales et ainsi doivent être robustes à l'attaque par itération de la fonction de codage (voir le rapport du Projet CODES ) ;

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la compression de type Lempel-Ziv est d'un ordre asymptotique moins redondante (donc, plus efficace) si l'on utilise la méthode à fenêtre.

L'analyse d'algorithmes a ainsi un rôle scientifique généraliste de clarification, prélude à l'optimisation fine. Elle sert de fondement aux études dans divers domaines d'application, dont la technicité mathématique va toujours croissante.

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