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Codes géométriques

Participants : Gaétan Haché, Dominique Le Brigand

Depuis les travaux de GOPPA (1960-70), on sait que les codes géométriques constituent une classe importante de codes correcteurs ; leurs ``bons'' paramètres et leur structure algébrique complexe les désignent naturellement pour certaines applications (construction de codes longs, protocole de protection... ). Constructions et classifications sont en cours d'étude, qui nécessitent une collaboration étroite entre Mathématiciens, Théoriciens du Codage et spécialistes de Calcul Formel. L'apport des logiciels de Calcul Formel, qui dans ce contexte doivent être utilisés et même développés par des spécialistes, est très important.

Pour développer ce thème de recherche, le projet entretient des contacts étroits avec l'équipe de D. Lazard pour le calcul formel et avec D. Le Brigand, spécialiste de géométrie algébrique (université Paris 6).

D. Le Brigand a dirigé la thèse de G. Haché, boursier INRIA.

En théorie des nombres, de nombreux travaux portent sur le nombre de classes des corps quadratiques imaginaires. D. Le Brigand a étudié l'analogue de ce problème pour les corps de fonctions. Elle a donné toutes les extensions quadratiques imaginaires K de k(x), où k est un corps fini, pour lesquelles le nombre de classes d'idéaux de la clôture intégrale de k[x] dans K est égal à 2 (le cas 1 est connu). Ces résultats sont publiés dans les comptes-rendus du colloque AGCT4 (Arithmetic, Geometry and Coding Theory, Juin 93)[23].

D. Le Brigand a aussi classifié les corps de fonctions algébriques en une variable dont le nombre de points de la jacobienne est égal à deux. Ceci est publié dans la revue Finite Fields and their Applications [22].

G. Haché a soutenue, le 19 septembre 1996, sa thèse intitulée Construction effective des codes géometriques, Dans sa thèse, il traite des algorithmes de construction des codes géométriques, en deux parties complémentaires :

• présentation des notions mathématiques nécessaires à la compréhension des algorithmes,
• description détaillée de ces algorithmes et de leur implantation.

En particulier, on y trouve une description détaillée du logiciel qu'a réalisé G. Haché en AXIOM. Avec ce logiciel, qui implante entre autres l'algorithme de Brill-Noether, on peut faire tous les calculs nécessaires pour construire des codes géométriques définis à partir de courbes planes ; on peut entre autres effectuer la désingularisation des courbes planes, le calcul du genre, le calcul des bases des espaces vectoriels L(D) associés à un diviseur D et le calcul de l'ordre (et l'évaluation le cas échéant) d'une fonction en toute place du corps des fonctions de la courbe. Bien que ce logiciel effectue des calculs très complexes, il est néanmoins efficace et convivial. Il se veut aussi un outil de recherche déjà apprécié par la communauté internationale du codage [19, 4, 42, 41].

Indépendamment de l'algorithme de Brill-Noether, G. Haché propose aussi dans sa thèse une construction effective propre à des codes géométriques particuliers obtenus par A. Garcia et H. Stichtenoth en 1995. Ces codes sont définis à partir d'extensions particulières de corps de fonctions du type d'Artin-Schreier avec lesquelles on peut construire, en théorie, une classe de codes dépassant la borne de Varshamov-Gilbert. Soulignons que la méthode de construction effective proposée par G. Haché, bien que toujours insuffisante en pratique, est la plus efficace connue à l'heure actuelle. Cette méthode a aussi permis à d'autres chercheurs de vérifier ou rejeter certaines hypothèses relatives à leurs recherches sur la construction explicite de tels codes.