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La haute non-linéarité

Un fonction est de haute non-linéarité lorsqu'elle se situe à grande distance de l'espace R(1,m) des fonctions affines de m variables. Cela signifie qu'elle définit un translaté de l'espace R(1,m) de poids de Hamming élevé.

La notion de fonction courbe, introduite en 1975, désigne la non-linéarité maximum des fonctions booléennes, lorsque m est un nombre pair. Ce maximum est inconnu lorsque m est impair. La classification des fonctions courbes et la détermination de la non linéarité en dimension impaire, sont des problèmes cruciaux, réputés très difficiles. Une partie de l'étude demandée par la DRET (voir §4 ) se situe dans ce contexte.

C. Fontaine mène une étude exploratoire de la propriété de non linéarité, s'appuyant sur un corpus de fonctions ayant une représentation courte. Ce corpus, algébriquement très structuré, est aisément manipulable. Les premiers résultats montrent surtout une bonne distribution des éléments du corpus dans l'ensemble des fonctions booléennes. Ces résultats ont été présentés à PRAGOCRYPT'96 [40]. C. Fontaine a exposé ses résultats dans plusieurs séminaires, au SCSSI et à l'Ecole d'hiver de Théorie du Codage (Décembre 96, Suède).