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Remonter : Aspects théoriques Suivant :
Spectre
multifractal conditionnel
Participants : Christophe Canus, Jacques Lévy Véhel
Mots-clés : analyse multifractale
Nous cherchons à définir un estimateur de la dimension de
Hausdorff, avec pour application principale, le calcul du spectre
multifractal de Hausdorff. S'il existe de nombreux estimateurs de
la dimension de boîtes, nous n'avons rien trouvé dans la
littérature concernant l'estimation de la dimension de Hausdorff.
Nous sommes partis d'un résultat de Lyons, qui relie la dimension
de Hausdorff d'un sous-ensemble fermé E de l'intervalle
[0,1] à la limite 
d'une suite de
recouvrements aléatoires indépendants 
construits à partir de la suite des partitions diadiques de [0,1]
tirés aléatoirement selon une loi de Bernouilli de paramètre
. Le théorème de Lyons
est le suivant :
Construire un estimateur à partir de ce théorème s'avère
relativement délicat puisqu'à la finitude de la résolution de
l'ensemble E sur lequel on travaille s'ajoute celle de
l'ensemble des recouvrements aléatoires 
. Cependant, il est possible de dériver des
résultats intéressants dans un cadre semi-paramétrique. Ainsi,
pour un ensemble de Cantor triadique aléatoire, on
obtient :
où 
. Plus généralement,
pour un sous-ensemble fermé quelconque de l'intervalle [0,1], on
cherche la suite de fonctions 
telle que
:
où 
et 
. La connaissance de 
permet d'estimer
et finalement 
.