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Participants : Manolo Castro-Diaz (projet Menusin), Frédéric Hecht, Bijan Mohammadi (projet M3N), Rachid Ouachtaoui
Mots-clés : estimation a posteriori, métrique
Les outils de maillage dont nous disposons, reposent sur la
connaissance d'un champ de matrices 
symétriques positives en tous points de l'espace que nous
appelons métrique. Cette métrique définit un espace riemannien,
où la longueur l d'une courbe 
est
donnée par 
. Les mailleurs
construisent des maillages tels que les longueurs d'arêtes soient
le plus proche possible de l'unité.
La première idée pour construire cette métrique, est d'équi-répartir l'erreur d'interpolation de la solution u du problème.
Pour une méthode d'éléments finis 
et
pour la norme 
, la métrique définie
par
équi-répartit l'erreur à niveau constant égale à 
. La valeur absolue |A| d'une matrice
symétrique A est la matrice symétrique positive qui a les
mêmes vecteurs propres que A, et qui a pour valeurs
propres, les valeurs absolues des valeurs propres de A
(i.e. 
).
Castro Diaz a montré comment construire des métriques pour
d'autres types d'interpolation ( 
,..), ou d'autres normes ( 
,
energie, ...)
Ces idées donnent de bons résultats dans les cas scalaires (une inconnue) mais généralement les vrais problèmes sont vectoriels. D'où l'idée de construire une métrique par inconnue et de trouver une nouvelle métrique telle que la boule unité en tout point soit contenue dans les boules unités de chaque inconnue.
Une fois appliquée cette technique, le problème est de choisir les dimensions pour chaque variable, c'est à dire d'adimensionner ces variables.
De plus, il est facile d'ajouter d'autres contraintes dans la construction des métriques, telle qu'imposer le nombre de pas dans l'épaisseur de la couche limite, de prendre en compte la géométrie (les rayons de courbures).
Dans de nombreux cas, travailler avec une norme, ne nous donne
qu'une erreur globale, ce qui n'est pas suffisant quand les
solutions des problèmes varient de plusieurs ordres de grandeur.
Il est préférable alors travailler avec une erreur relatives
définie par
ou 
est l'opérateur
d'interpolation des éléments finis ,
et ou troncature est un nombre positif pour éviter de
diviser par zéro. La métrique définie par
équi-répartit l'erreur relative à un niveau constant de
.
Les deux figures 1 montrent les différences entre ces deux types d'erreurs.
=by 8 by 10 by 3
=by 8 by 10 by 5
Figure 1:
Vue partielle d'une adaptation après un calcul d'écoulement
derrière une marche. Les premiere et seconde recirculations sont
correctement identifiées avec le critère relatif alors que la
seconde recirculation n'est pas capturée avec le critère d'erreur
globale.
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