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Maillage
de courbes
Participants : Houman Borouchaki, Pascal Frey
Mots-clés : quadrangle
Il existe principalement deux approches pour construire un
maillage quadrangulaire d'un domaine quelconque de 
et pour traiter le cas d'une surface
paramétrique.
Pour la première approche, dite approche directe, on trouve essentiellement deux méthodes qui sont basées soit sur la décomposition de domaine et l'application locale d'une méthode algébrique, soit sur une technique de pavages du domaine en quadrangles.
La première méthode est sensible à la décomposition effectuée
et nécessite que les sous-domaines résultants soient
quasi-convexes. Les algorithmes de décomposition de domaine
requièrent généralement une connaissance locale ou globale du
domaine. En particulier, dans ce dernier cas, le squelette du
domaine peut être utilisé pour le décomposer fidèlement. La
détermination de ce squelette pour un domaine de est plus ou moins résolue, mais reste un problème
ouvert dans le cas des surfaces paramétriques.
La deuxième méthode consiste à générer le pavage du domaine, de la frontière vers l'intérieur, et à gérer les collisions quand deux fronts s'intersectent. Récemment cette méthode a été généralisée au cas des surfaces paramétriques, en prenant en compte les plans tangents, ainsi que les rayons de courbures. Par nature, cette méthode est sensible à la discrétisation de la frontière du domaine ou de la surface.
Dans le cas où un champ constant de métriques isotrope est spécifié, ces deux méthodes sont plus ou moins équivalentes. Par contre, dans le cas où un champ quelconque est spécifié, la deuxième méthode peut éventuellement suivre ce champ à la différence de la première. Une amélioration potentielle de la première méthode consiste à redéfinir le squelette par rapport au champ spécifié en se plaçant dans un contexte riemannien. Il s'agit là, néanmoins, d'un problème théoriquement difficile compte tenu de la structure riemannienne.
Pour la seconde approche, dite approche indirecte, la méthode consiste à partir d'un maillage triangulaire et à générer des quadrangles, en regroupant deux à deux les triangles. On trouve également, ici, deux classes de méthodes.
Dans la première, le regroupement des triangles est dirigé par un critère sur la qualité des quadrangles et peut conduire à un maillage mixte (composé de quadrangles et de triangles).
Dans la deuxième, le maillage résultant ne comprend que des quadrangles si la discrétisation de la frontière comprend un nombre pair de sommets. Le regroupement se fait à partir de la frontière en progressant vers l'intérieur du domaine, en s'assurant qu'à chaque intersection de fronts, les fronts résultants possédent un nombre pair de sommets, résultat assuré par ajout éventuel de sommets au maillage initial. Ce procédé demande une classification topologique des cas relatifs aux chocs de fronts.
Notre étude propose une méthode basée sur une approche indirecte, appartenant à la première catégorie, qui généralise le procédé d'appariement des triangles au cas où un champ de métriques est spécifié. Ainsi d'une manière naturelle, on peut générer le maillage quadrangulaire d'un domaine plan ou d'une surface paramétrique via le domaine des paramètres. Par ailleurs, on introduit une nouvelle procédure d'optimisation du maillage résultant basée sur un ``bougé'' contrôlé des points.
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