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Techniques de validation croisée dans les problèmes inverses

D. Girard a poursuivi l'étude des versions randomisées de validation croisée et d'autres critères dans plusieurs directions, notamment :

- Les résultats de Härdle, Hall et Marron (1988) sur la performance asymptotique (vitesse de convergence) de la validation croisée (CV) ou de la GCV, et ses propres résultats sur la GCV randomisée (1992), ont été étendus à un cadre plus général. D'autre part, la légère détérioration inévitable due à la randomisation est précisément interprétée [11]. Par exemple, une pratique auparavant courante était de réduire le coût (d'un facteur k) de la CV exacte, simplement en ne considérant les omissions que d'un point sur k (donc seulement n/k tests leave-one-out parmi les n tests possibles). Ce travail montre que déjà avec k=2, la vitesse de convergence devient moins bonne que celle de la GCV randomisée utilisant 2 simulations (qui réduit, elle, le coût d'un facteur n/3).

- Une (la ?) question primordiale pour l'intérêt pratique de ces techniques est bien sûr: ``Peut-on se fier au choix fourni par la validation croisée pour le problème en main?''. Suite à la première réponse partielle donnée dans l'article de Computational Statistics (``si les choix (randomisés) obtenus ont une grande variabilité alors la validation croisée exacte est elle-même très questionnable''; heuristique qui a été étendue à un contexte non-linéaire dans le rejoinder [12] de la discussion de cet article), on a montré que l'on peut même obtenir un estimateur ``consistant'' pour la distribution du paramètre validation croisée (et donc des intervalles de confiance pour le paramètre optimal) et ceci uniquement par simulation d'une certaine variante de la GCV randomisée [45]. Une amélioration très récente de cette méthodologie permet d'étendre son domaine d'application.