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Problèmes d'optimisation en micromagnétisme

i) La simulation de dispositif.

E. H. Khannous a soutenu sa thèse sur la simulation numérique des structures magnétiques dans les matériaux ferromagnétiques le 25 octobre [2]. Celle-ci portait sur la simulation du mouvement de parois et de lignes de Bloch par une approche simplifiée bidimensionnelle. Le problème initial est donné par l'équation de Landau-Lifshitz-Gilbert (LLG) et est tridimensionnel. La paroi est supposée être une courbe qui se déplace sous l'effet d'un champ externe.

Dans un premier temps, il a résolu numériquement le modèle de Slonczewski. Il a formulé le calcul du champ démagnétisant dans le cas d'une paroi sans structure. Pour cela, il a fait une étude locale des singularités du champ au niveau de la paroi et a proposé une formule de quadrature pour l'approcher. L'étude a été ensuite généralisée au cas d'une paroi avec structures. La discrétisation du modèle de Slonczewski l'a conduit à étudier, entre autres, l'évolution d'une courbe sous l'influence de sa courbure. Un schéma semi-implicite a été proposé et une méthode d'approximation de la courbure pour une courbe définie par un nombre fini de points, analysée. Il a également développé un algorithme pour la résolution d'une équation aux dérivées partielles posée sur une courbe en mouvement.

Dans un second temps, il a proposé un modèle simplifié qui est, comme pour le modèle de Slonczewski, issu des équations de LLG. Celui-ci est donné par deux équations couplant la vitesse normale d'une courbe (centre de la paroi) et l'angle azimutal. Contrairement à Slonczewski, il a tenu compte des interactions entre les lignes de Bloch.

Il a terminé son travail par la validation des différentes discrétisations et approximations et a obtenu des résultats de la physique : domaines en labyrinthes, translation d'une bulle, annihilation de deux lignes déroulantes, déplacement de deux lignes enroulantes.

ii) Le développement d'un code parallèle résolvant l'équation de LLG.

A. Bagnérés continue son travail de développement et de validation d'un code 3D de simulation du déplacement d'une paroi contenant une chaîne de lignes de Bloch dans une portion parallélépipédique de matériau ferromagnétique. Ce code est implémenté sur machine parallèle [46].

Pour l'instant, la structure est supposée périodique suivant les deux directions du plan de la plaque. Un travail pour supprimer l'hypothèse de périodicité suivant une ou les deux directions est en cours. Il a fait l'objet d'un stage d'IUP [51]. Le calcul d'un champ, le champ démagnétisant, est à revoir complètement. On utilise, cette fois, sa formulation en produit de convolution que l'on calcule dans le domaine de Fourier. Les effets dus à la périodicité sont neutralisés en ajoutant une zone où le signal est mis à zéro et par troncature du noyau.

D'autre part, elle étudie la possibilité d'obtenir des états stationnaires à partir des équations de la dynamique. Il semble qu'un phénomène d'oscillation amortie d'une fréquence très longue rende le calcul difficile.

Paroi magnétique contenant un point de Bloch (à gauche) et une ligne de Bloch (à droite). Ce résultat a été obtenu par un calcul sur un maillage régulier de noeuds, sur calculateur massivement parallèle Paragon.

iii) Études sur le problème de minimisation de l'énergie.

C. Bonjour a soutenu sa thèse le 30 octobre [1]. Cette thèse portait sur l'inversion de systèmes linéaires pour la simulation des matériaux ferromagnétiques et l'étude mathématique des singularités d'une configuration d'aimantation.

Une configuration d'aimantation dans un matériau ferromagnétique est un minimum d'une énergie composée de quatre termes : les énergies d'échange, d'anisotropie, démagnétisante et de Zeemann. De plus, l'aimantation est de norme constante. Il s'agit d'un problème de minimisation d'une fonctionnelle sous contrainte non linéaire. Le terme d'énergie démagnétisante est non local, ce qui introduit des difficultés tant du point de vue théorique que numérique.

Dans un premier temps, il a développé deux codes de résolution de systèmes linéaires provenant du problème de minimisation pour le LETI-CEA. Il a utilisé une méthode de type gradient conjugué préconditionné et une méthode d'expansion couplée à la première méthode.

Dans un second temps, il a démontré que les singularités d'une configuration d'aimantation sont en nombre fini à l'intérieur du matériau. Il a utilisé, pour cela, la théorie introduite par Schoen et Uhlenbeck pour les fonctions minimisant l'énergie de Dirichlet sur la sphère unité. Il a adapté cette théorie à l'énergie du micromagnétisme. Il a tenu compte, en particulier, du caractère non local de l'énergie démagnétisante.

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