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Contrôle d'interfaces

Optimisation en cristallogénèse

M. Marguliès a écrit un modèle et mis au point un logiciel pour aider au contrôle d'une méthode de cristallogénèse : le procédé Bridgman. Il s'agit de contrôler l'interface de cristallisation à partir de paramètres agissant sur la thermique du procédé : la vitesse de tirage, l'orientation des réflecteurs pour les échanges de chaleur par rayonnement. À l'instant initial, le matériau doit être fondu de telle façon que le germe soit juste à la température de fusion. À l'instant final le matériau doit être tout entier en dessous de la température de solidification. En cours d'évolution la forme de l'interface doit rester stable. Après avoir fait une étude fine de la modélisation du processus, M. Marguliès a écrit le problème de contrôle. La variable d'état est l'enthalpie du système. Le procédé est régi par une EDP non linéaire (Stefan avec changement de phase et conditions de flux non linéaire sur la frontière). Ce problème non linéaire est traité avec les méthodes développées par E. Magenes, C. Verdi et A. Visintin. La recherche des paramètres optimaux est un problème d'optimisation non convexe avec contraintes non linéaires. M. Marguliès étudie la résolution du problème par pénalisation et également par les multiplicateurs de Lagrange. Il utilise le calcul de l'adjoint adapté à la méthode de résolution choisie pour le problème direct. Sa thèse a été soutenue en octobre 96 [3]. Les résultats font apparaître la prédominance des paramètres de contrôle du rayonnement et la nécessité d'affiner le modèle en prenant en compte la thermique dans le creuset.

Problème de la détermination d'une forme optimale en cristallogénèse

C'est le sujet de thèse de S. Despreaux débutée en octobre 1995. Les méthodes classiques de cristallogénèse à partir d'un bain liquide ne produisent en général que des monocristaux de forme cylindrique. La réalisation de géométries complexes nécessite la mise en oeuvre a posteriori d'étapes d'usinages délicats. Une alternative est la technique de préformage du cristal. Elle est basée sur l'utilisation des forces capillaires. Le matériau est d'abord fondu dans un creuset placé à l'intérieur d'un four. On réalise ensuite un ménisque liquide qui s'appuie sur une filière (frontière extérieure) et sur le cristal (frontière intérieure) qui se forme à partir d'un germe préorienté. Le problème est de savoir si l'on peut déterminer une forme de filière qui assure avec le cristal un contact liquide-solide à hauteur constante.
Cela nécessite évidemment de savoir résoudre le problème direct de la détermination de la forme du ménisque à frontières données. Il faut résoudre l'équation de la capillarité (elliptique non linéaire) avec des conditions aux limites de type Dirichlet sur la filière et Neumann non linéaire sur le cristal. S. Despreaux a obtenu des résultats d'existence dans la lignée des travaux de C. Gerhardt. Il étudie maintenant le développement de méthodes numériques pour calculer une forme optimale de filière. Une étude numérique préliminaire avait été réalisée par F. Babik dans son projet d'ingénieur à l'ENSIMAG [17].

Problèmes autour du phénomène de capillarité

S. Bouchereau travaille sur la modélisation et la simulation numérique de l'évolution d'un fluide sous l'effet conjugué des forces de tension superficielle et d'un champ électrique [15]. Une goutte de liquide est posée sur un support conducteur. En l'absence de champ électrique la forme de l'interface résulte de l'équilibre entre les forces de tension superficielle et de gravitation. Lorsque l'on met la goutte sous une tension V que l'on fait croî tre, on observe une déformation de la surface libre. Il s'agit de calculer cette déformation. S. Bouchereau a tout d'abord envisagé le cas axisymétrique, ce qui est raisonnable pour des valeurs du potentiel entre 0 et 600 volts. Il a écrit un code de calcul par éléments finis pour la résolution du problème direct et une méthode de type cheminement avec pour paramètre V. Les résultats peuvent être comparés pour des petites valeurs du potentiel avec ceux obtenus par une approximation condensateur plan habituellement faite par les physiciens. Cependant on constate les limites de la méthode numérique lorsque l'angle de contact entre la goutte et le substrat devient très faible. Le calcul du potentiel est un problème de transmission dans un ouvert à coin qui devient singulier. Pour aller au delà des 600 volts il était donc nécessaire de passer en 3-D et de considérer les singularités qui apparaissent, portées par la frontière. S. Bouchereau a mis au point une méthode de calcul par éléments frontières et intégrales singulières. Son travail de thèse est actuellement interrompu par son service national (16 mois).

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