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Asymptotique de la valeur propre et du vecteur propre de Perron

Participants : Marianne Akian, Ravindra Bapat, Stéphane Gaubert De nombreuses applications (méthode de la matrice de transfert en physique statistique) font intervenir les valeurs propres et vecteurs propres de matrices de la forme

où est une matrice réelle donnée, et est un grand paramètre. Il n'est pas trop difficile de voir que la valeur propre de Perron de , , satisfait la propriété de type ``grandes déviations''

où désigne la valeur propre de la matrice A sur le semianneau min-plus; et que le vecteur propre de Perron de , (unique à une constante multiplicative près), satisfait lorsque la limite existe

où v est un vecteur propre min-plus de A. Bien que la matrice A soit finie et donc irréductible au sens de la théorie spectrale min-plus, on a en général plusieurs directions propres. Il s'agit de montrer des résultats asymptotiques plus précis, et surtout de caractériser de manière ``combinatoire'' (en termes de graphe) la direction propre particulière que ce procédé limite sélectionne.

On a caractérisé simplement cette direction propre dans les cas non dégénérés, et donné une procédure d'agrégation permettant de déterminer la direction propre limite en général. Autour des cas dégénérés, le vecteur propre min-plus sélectionné est remarquablement instable par rapport aux coefficients de A; on obtient un phénomène de type transition de phase ferromagnétique. Ces résultats tendent à unifier la théorie spectrale min-plus et la théorie de Perron-Frobenius, la première apparaissant comme un cas limite singulier de la seconde.