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Systèmes à polling

  Les systèmes dits à polling, où V serveurs se partagent entre N stations, selon une politique donnée, font toujours l'objet d'une abondante littérature, notamment à cause de leur vaste champ d'applications. Cette années, des percées significatives ont été accomplies, qui concernent les conditions d'existence de régimes stables dans le cas V>1 (jusqu'alors totalement ouvert). En général, le problème est difficile (par suite d'une absence de monotonie trajectorielle) et s'insère dans le cadre des chaînes de Markov vectorielles (cf. § 3.2.1 ). En outre, il est presque toujours impossible de calculer certaines grandeurs intéressantes, telles par exemple les temps d'attente moyens.

Participants : Franck Delcoigne, Guy Fayolle - Ces travaux entrent dans le cadre d'une collaboration avec le programme PRAXITèLE (cf. section 4 et RA95), amorcée depuis trois ans. Il s'agissait d'étudier le déplacement de véhicules (bus, taxis) sur un graphe quelconque, évoluant sous certaines contraintes. Les modèles proposés se présentent, en général, comme des systèmes à polling, avec routage Markovien dépendant de l'état (présence ou non d'un client à la dernière station visitée) et discipline de service 1-limitée. On a résolu cette année le cas où les taxis, arrivant à une station vide, sont supposés attendre les clients, qui choisissent leurs destinations selon une certaine matrice de routage. On obtient une classification globale de ce système (sous des hypothèses assez larges sur les séquences d'entrée), en montrant notamment qu'il n'est jamais ergodique. Il n'est récurrent nul que si 3 conditions sont réalisées :  ; le vecteur des intensités d'arrivées aux stations est proportionnel à la mesure invariante de la matrice de routage ; , désignant l'intensité totale des nouveaux clients et le temps moyen de déplacement entre 2 stations quelconques. Sinon le système est transient. On donne en outre une classification précise pour chaque file, ainsi que des lois limites, après changement d'échelle temporelle convenable. Des transitions de phase apparaissent. La démarche proposée [10] s'appuie sur le théorème de la limite centrale et sur un couplage avec un processus de référence, dans lequel les temps de déplacement sont identiquement nuls. Dans l'avenir, on analysera les classes de politiques où les taxis, en l'absence de clients, attendent pendant une durée aléatoire quelconque.

Participant : Christine Fricker - En collaboration avec R. Jaïbi (Université de Tunis), on obtient des résultats de stabilité pour un système à V serveurs homogènes, avec routage Markovien et politique de service 1-limitée dépendant de la file. La méthode consiste à étudier un modèle fluide associé, technique féconde qui intervient aussi dans l'étude de marches aléatoires dans ). Des cas de politiques plus générales, avec serveurs hétérogènes, sont en cours d'étude.

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