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Consistance en identification paramétrique

Participants : Laurent Baratchart, Martine Olivi

Mots-clés : approximation rationnelle, identification paramétrique, structure topologique des matrices rationnelles, étude des points critiques, pôle et zéro d'une matrice rationnelle  

L'étude de la consistance de la minimisation de l'erreur de prédiction en identification paramétrique de systèmes linéaires est présente depuis deux ans dans le projet comme domaine d'application naturel des avancées réalisées en approximation rationnelle et comme vecteur naturel de publicité pour celles-ci auprès d'une communauté ayant une longue tradition scientifique en identification. En particulier, on vise à obtenir des énoncés généraux et même, si possible, définitifs sur certaines questions classiques, tout en sachant que cela influera sans doute peu sur la pratique dans ce domaine.

Le contexte de ce travail est ultra-classique : étant donné un processus discret y(t) à valeurs dans , et un autre processus u(t) à valeurs dans que l'on tient pour la cause mesurable du phénomène qui se manifeste par y(t), on cherche pour décrire ledit phénomène à ajuster un modèle linéaire :

où e est un bruit blanc décorrélé de u censé représenter les aléas qui concourent à créer y(t), et L une fonction de transfert inversible et d'inverse stable (c'est-à-dire que parmi les bruits de même covariance et d'innovation donnée, on choisit celui dont la fonction de transfert est de phase minimale) ; notons qu'une telle représentation est générale si y(t) et u(t) sont des processus stationnaires réguliers (c'est-à-dire purement non-déterministes en un certain sens). Si on choisit la norme de l'erreur linéaire de prédiction comme mesure de la qualité du modèle, on cherche en conséquence une matrice rationnelle de taille et de degré de McMillan n qui minimise, pour un échantillon de longueur N, l'estimateur empirique de la variance :

Un résultat de consistance est alors, par définition, un théorème affirmant, sous certaines conditions, que la suite s'accumule, lorsque N croît, près d'un minimiseur de la ``vraie'' variance :

En particulier, on reconstruit le ``vrai'' modèle s'il est de la forme prescrite. De tels résultats sont disponibles dans la littérature, et pour des critères un peu plus généraux, sous des hypothèses d'ergodicité ou de stabilité exponentielle de (u,y), mais ils requièrent généralement que la classe de modèles soit compacte, ce qui est gênant dans la mesure où l'on voudrait que certaines caractéristiques dynamiques comme les pôles soient déterminées par les données et non pas un artefact de la classe choisie, ou encore que le ``vrai'' système appartienne à cette classe de modèles, ce qui est peu réaliste. Une exception notable est constituée par les résultats de Hannan et Deistler (The Statistical Theory of Linear Systems, Wiley, 1988, Chap. 7, par. 4), qui prouvent la consistance, non pas de la minimisation de l'erreur de prédiction mais de la maximisation de la vraisemblance, sous des hypothèses d'ergodicité faible, d'excitation persistante, et de régularité des processus.

Nous avions prouvé l'an passé, également sous des hypothèses faibles d'ergodicité et de persistance d'excitation, que la minimisation de la forme empirique de l'erreur de prédiction est du même type (nature et nombre des points critiques) que celle de la variance l'erreur de prédiction elle-même, fondant ainsi le lien avec l'approximation rationnelle étudiée par ailleurs dans le projet. En particulier, les résultats de [17] (également à paraître dans Constructive Approximation) entraînaient dans le cas où L=Id (identification dite d'erreur de sortie ) que le minimiseur de est presque sûrement l'unique point critique, asymptotiquement sur tout compact, lorsque la densité de y par rapport à u est presque rationnelle de degré n.

Cette année, nous avons essentiellement affaibli les hypothèses du résultat précédent en traitant le cas ergodique en moyenne et obtenu au passage un théorème de consistance sans hypothèse de compacité pour la minimisation de la variance de l'erreur de prédiction à variance du bruit fixée, qui peut être considéré comme uneversion un peu généralisée du résultat de Hannan et Deistler. La rédaction de ce travail est en cours, ainsi qu'une collaboration avec M. Deistler et E. Saff, pour tâcher d'étendre ces propriétés à l'estimateur du maximum de vraisemblance.

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