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Mots-clés : automatique, identification de matrice de transfert, approximation, optimisation
Abstraire, sous forme d'équations mathématiques, le comportement d'un phénomène que l'on veut étudier est l'étape dite de modélisation. La modélisation a typiquement deux objets : le premier est de décrire le phénomène dans sa complexité minimale compte tenu du but poursuivi, et le second est de se doter d'un outil pour en prédire les effets. Ceci est couramment pratiqué à des fins de conception, ou de contrôle, quoique rarement perçu autrement que comme un problème d'optimisation subordonné à chaque cas particulier.
En règle générale, l'utilisateur impose à son modèle une forme paramétrée qui reflète tout à la fois ses habitudes de pensée, sa connaissance physique du phénomène, l'effort algorithmique qu'il est prêt à consentir, et le caractère utilisable du modèle in fine. La recherche de ce compromis amène usuellement à poser le problème d'approcher les observations faites par celles qu'on tirerait du modèle sous l'effet d'excitations censées représenter les causes du phénomène. La capacité à résoudre ce problème d'approximation, souvent non-trivial et parfois mal posé, conditionne pour une large part la pratique d'une méthode donnée.
C'est lorsqu'on veut évaluer la puissance prédictive d'un modèle que l'on est amené à postuler l'existence d'une vraie correspondance fonctionnelle entre les données et les observations, et que l'on entre dans le domaine de l'identification. La puissance prédictive du modèle peut s'y exprimer de diverses manières qui toutes, cependant, cherchent à mesurer la différence entre le ``vrai'' modèle et les observations. La nécessité de prendre en compte les différences patentes entre le comportement observé et le comportement calculé induit alors naturellement la notion de bruit comme agent dégradant du processus d'identification. Ce bruit, qui s'incorpore au modèle, peut être traité sur un mode déterministe où la qualité d'un algorithme d'identification est son insensibilité à des petites erreurs. Cette notion est celle de problème bien posé en analyse numérique, ou de stabilité du mouvement en mécanique. Le bruit, cependant, est plus souvent considéré comme aléatoire, et l'on compte alors sur le moyennage pour estimer le ``vrai'' modèle. Cette notion permet au premier chef de donner des descriptions approchées mais simples de systèmes complexes dont les causes sont mal connues mais plausiblement antagonistes. Notons, dans les deux cas, que des hypothèses sur le bruit sont nécessaires pour justifier l'approche adoptée (il doit être petit dans le cas déterministe et satisfaire des hypothèses d'indépendance ou d'ergodicité dans le cas stochastique). Ces hypothèses sont rarement validées autrement qu'à l'usage.
Avec le déplacement du problème depuis le compte-rendu d'une série d'expériences jusqu'à l'estimation d'un hypothétique modèle exact, la problématique de l'identification s'enrichit aussi de la possibilité de choisir les données de façon commode pour explorer la structure du phénomène. Ceci interagit souvent de manière complexe avec le caractère local du modèle par rapport aux données.
Alors que le sujet est dominé depuis vingt ans par le paradigme de la statistique paramétrique, c'est pourtant dans une approche déterministe de l'identification des systèmes dynamiques linéaires (c'est-à-dire des processus de convolution), fondée sur l'approximation dans le domaine complexe, que le projet situe sa contribution la plus originale au domaine. Naturellement, les liens profonds que tisse le théorème spectral entre les représentations temporelles et fréquentielles induisent des parallèles bien connus entre la théorie des fonctions et celle des probabilités, et le travail de MIAOU connaît par ce biais quelques retombées dans la théorie stochastique classique. Celles-ci restent néammoins marginales pour l'instant.
Notre abord de l'identification, pragmatique en un sens, consiste à traiter les données qui se présentent sans se préoccuper d'un modèle exact au plan global mais en recherchant une approximation convenable dans le domaine de fonctionnement. Un exemple prototypique est l'identification harmonique, couramment rencontrée en ingénierie, où les données sont les réponses du système à des excitations périodiques dans sa bande passante de fréquences. On cherche en général un modèle linéaire et stable qui décrive correctement le fonctionnement dans cette bande passante, bien que ce modèle puisse être infidèle aux hautes fréquences, qu'on ne peut d'ailleurs guère mesurer. On souhaite aussi que ce modèle soit rationnel et de degré raisonnable s'il se peut, afin de pouvoir l'utiliser efficacement pour le contrôle ou l'estimation. Enfin, aucune statistique n'est disponible sur les erreurs, qui proviennent autant des défauts de mesure que du caractère erroné de l'hypothèse de linéarité. Les applications visées sont l'identification des systèmes résonnants, des structures flexibles, et de certains systèmes diffusifs (chaleur, électrostatique).
Une des caractéristiques de notre approche est la dissociation
entre une étape d'identification proprement dite, qui fournit un
modèle de dimension infinie --numériquement de dimension grande--
et une étape d'approximation rationnelle destinée à réduire
l'ordre. Dans ce contexte, il est généralement important de
disposer d'approximants rationnels optimaux ou sous-optimaux en
un certain sens, parce que l'on veut tirer le meilleur parti de
l'ordre alloué au modèle. L'approximation rationnelle dans le
domaine complexe est un sujet classique et ardu. En relation avec
l'automatique, deux éléments de difficulté supplémentaires s'y
greffent, à savoir la nécessité de contrôler les pôles des
approximants (pour la stabilité) et celle de traiter le cas
matriciel. Notons qu'en matière d'approximation au sens
de la fonction de
transfert, les valeurs p=2 et 
sont
d'un intérêt particulier : la première parce qu'elle correspond à
une identification paramétrique au minimum de variance lorsque
l'entrée est un bruit blanc (dans le cas d'un bruit coloré il
faut pondérer le critère par sa densité spectrale) et également à
la minimisation de l'erreur en norme d'opérateur 
dans le domaine temporel, la seconde parce qu'elle
correspond à la minimisation de l'erreur au plan de la
transmission d'énergie.
Pour des raisons de commodité nous abordons souvent les questions précédentes non sur l'axe imaginaire mais, ce qui est équivalent, sur le cercle unité où elles correspondent à des considérations analogues pour les systèmes à temps discret.
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