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Systèmes de réaction-diffusion

Participants : NourEddine Alaa, Michel Pierre, Didier Schmitt, Philippe Laurençot, Nassima Boudiba

A) E xistence globale dans les systèmes de réaction-diffusion Les systèmes de réaction-diffusion modélisent l'évolution de plusieurs composants qui interagissent et diffusent dans un milieu ambiant. Nous avons poursuivi notre étude systématique de l'existence globale en temps de solutions pour des systèmes présentant les deux propriétés fondamentales suivantes qui apparaissent naturellement dans de nombreuses applications :
- la positivité des solutions est préservée au cours du temps
- la somme des termes réactifs est négative ou nulle (ce qui implique en général que la masse totale des composants est décroissante au cours du temps).

Ces systèmes s'écrivent par exemple

avec conditions initiales et aux limites. Ici, sont les coefficients de diffusion, représentent les interactions non linéaires qui sont donc supposées respecter la positivité au cours du temps soit :

et, par exemple, .

Pour le système d'équations différentielles ordinaires associé (c'est-à-dire sans les diffusions), ces deux propriétés assurent l'existence globale en temps de solutions pour toute donnée initiale positive. Pour le système d'EDP, elles assurent seulement une estimation a priori des solutions. La question générale étudiée dans le projet est de savoir dans quelle mesure ces propriétés aident à l'existence globale en temps de solutions.

C'est le cas si les coefficients de diffusion sont identiques. Si, par contre, ils sont différents, nous avions montré grâce à des contre-exemples explicites construits avec l'aide de MAPLE qu'il peut y avoir concentration ponctuelle de masse à certains instants et donc explosion de la norme en temps fini. Ces contre-exemples s'avèrent avoir des sous-produits intéressants pour des équations paraboliques linéaires sous forme non divergentielle et à coefficients discontinus et pour des équations non-linéaires d'Hamilton-Jacobi. Ce travail a fait l'objet de l'article [33]  ; voir aussi [30] pour des discussions sur l'influence des conditions aux bord.
Nous avons aussi continué à analyser l'influence de dépendances en pour les nonlinéarités f et g. La situation est encore plus délicate puisque nécessitant d'emblée des estimations sur les gradients. Le cas parabolique "triangulaire" (i.e. quand, de plus, une équation est "bonne") est traité dans [41] pour des dépendances sous-quadratiques. Plusieurs résultats dans cette classe de problèmes font partiellement l'objet de la thèse d'Etat de N. Alaa [2].
Dans [55], nous montrons l'existence d'effets régularisants dans des systèmes de ce type pour des données intégrables, voire seulement mesures.

B) E tude d'un modèle de réaction-diffusion de réponse d'un tissu organique à une infection bactérienne. Il s'agit d'un modèle de type chimiotactique, qui est constitué de trois EDPs non linéaires. Nous montrons l'existence et l'unicité d'une solution de ce problème [62]. Nous nous intéressons maintenant à la stabilité de l'état sain, i.e. à déterminer quel est le seuil que l'infection ne doit pas dépasser pour que les défenses immunitaires du tissu soient en mesure de l'enrayer sans apport extérieur tel que antibiotiques, ou autres.

C) M odèles de coagulation-fragmentation avec diffusion.

Ces modèles décrivent l'évolution d'une population de polymères qui peuvent, soit se fragmenter en deux, soit s'agglomérer deux à deux. Mathématiquement, ces modèles s'écrivent comme des systèmes infinis d'équations. Lorsque les fluctuations spatiales sont négligées, ces modèles se réduisent à des systèmes infinis d'EDO et ont fait l'objet d'études (J. Ball, J. Carr, O. Penrose, ...). Lorsqu'on prend en compte les fluctuations spatiales, ces modèles deviennent des systèmes infinis d'équations de réaction-diffusion avec des coefficients de diffusion différents pour chaque équation. Dans le cas où seule la fragmentation est prise en compte (dégradation de polymères), nous avons montré l'existence et l'unicité de solutions et obtenu le comportement pour les grands temps de ces solutions [65].

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