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Participants : Axel Grorud, Hervé Régnier, Denis Talay
Mots-clés : processus de branchement, équation de convection-réaction-diffusion, méthode particulaire stochastique L'objectif est d'analyser la méthode particulaire stochastique de Sherman et Peskin pour des équations de convection-réaction-diffusion.
La théorie des processus de branchement et les problèmes de martingales non linéaires qui leur sont associés, permettent d'interpréter les solutions au sens faible des équations aux dérivées partielles de type
où L désigne un opérateur elliptique et où 
et 
sont des coefficients
suffisamment réguliers. Ikeda-Nagasawa-Watanabe donnent une
interprétation probabiliste de la solution en terme de processus
de branchement ponctuels. À partir de cette interprétation, on
construit facilement un algorithme de Monte-Carlo. A. Grorud, H.
Régnier et D. Talay ont montré que la vitesse de convergence en
norme 
est d'ordre
où 
est le pas de temps et M le nombre de
simulations. Des essais numériques ont été effectués et ont
permis de corroborer la vitesse de convergence théorique.
L'étude s'est poursuivie en considérant le lien entre les équations du type
(avec des fonctions 
convenables) et
les processus de branchement avec interactions, afin d'effectuer
l'analyse numérique de la méthode particulaire stochastique de
Sherman et Peskin. Cette méthode ne cherche pas à
résoudre (4 ) directement mais
l'équation au gradient qui lui est associée. À cette équation
nous pouvons associer un processus de branchement avec
interaction de type champ moyen (l'interaction dépend de l'état
global du système). Entre t et 
,
chaque particule suit un mouvement brownien à l'issue duquel elle
meurt ou bien donne naissance à de nouvelles particules. La
condition de regénérescence fait intervenir l'état global du
système. Les résultats de ``propagation du chaos'' pour ces
systèmes montrent que, quand le nombre de particules à l'instant
0 tend vers l'infini, chaque arbre issu d'une particule initiale
a tendance à se comporter comme une copie indépendante d'un arbre
dont la loi est décrite à l'aide d'une équation ``limite'' ;
dans le cas de l'équation de Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov avec
une condition initiale égale à la fonction de Heaviside,
l'équation ``limite'' est la suivante :
où 
est la densité de
par rapport à la
mesure de Lebesgue et 
le noyau de Green
de l'équation de la chaleur. Chauvin, Olivares-Rieumont et
Rouault ont montré que la mesure
peut être approchée à l'aide de la mesure empirique (aléatoire)
des particules de l'algorithme de Sherman et Peskin, et qu'une
simple intégration numérique par rapport à cette mesure empirique
fournit une approximation de la solution de (4 ). A. Grorud, H. Regnier et D. Talay ont
entamé l'étude de la vitesse de convergence en exploitant ce
point de vue. Il semblerait que l'erreur en norme 
soit d'ordre 
où
N est le nombre de particules à l'instant initial.
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