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Modèle géométrique direct des robots parallèles

Participants : Luc Tancredi, Monique Teillaud, Olivier Devillers

Mots-clés : système polynomial, robot parallèle, modèle géométrique

Nous avons poursuivi nos travaux sur une méthode d'élimination symbolique nous permettant de trouver des bornes au nombre de solutions du modèle géométrique direct (MGD ) des robots parallèles, lorsque des capteurs d'angle sont ajoutés sur les segments. La borne classique pour le MGD est de 40 solutions ; l'ajout de capteurs permet de réduire cette borne ; par exemple, pour un robot à plateforme plane et en ajoutant un (resp. deux) capteur(s), on prouve une borne de 20 (resp. 9) solutions alors qu'une application classique du théorème de Bézout permet seulement de prouver des bornes de 32 (resp. 16) solutions.

Nous avons fourni une démonstration complète de la validité de ces bornes [44, 31]. Cette démonstration utilise néanmoins des propriétés du MGD obtenues par des raisonnements géométriques. Il n'a pas encore été possible de s'en affranchir dans tous les cas, et de n'utiliser que des propriétés algébriques du système polynomial de départ. Une démonstration plus générale permettrait d'étendre les domaines d'application de cette méthode d'élimination.

Par ailleurs, une synthèse des résultats fournis par les théorèmes dits de géométrie synthétique a été effectuée [45]. La géométrie synthétique est bien adaptée à l'étude du comportement des corps en mécanique du solide. Les théorèmes de Bézout, Cayley, Fichter permettent d'étudier de nombreux mécanismes et les lieux des points décrits par un de leurs points, droites ou plans. Ils s'appliquent en particulier au calcul de bornes sur le nombre de solutions du MGD, pour certains robots parallèles, pour lequel ils fournissent des démonstrations élégantes.