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Percer ou couvrir des objets géométriques

Participant : Franck Nielsen

Mots-clés : optimisation combinatoire, géométrie algorithmique, algorithme adaptatif

Un ensemble d'objets est dit perçable par k points s'il existe un ensemble de k points tel que chaque objet soit percé (contienne) au moins un de ces points. Trouver le plus petit entier k tel qu'un ensemble soit perçable par k points est NP-complet. Ceci est la base de nombreuses applications où l'on cherche à minimiser le nombre d'objets congruents couvrant un ensemble de points, comme par exemple le placement de formes, l'aménagement d'espace, la localisation dans des structures de données, etc. Dans cette étude [41, 23], nous présentons des algorithmes efficaces pour trouver de tels ensembles de points pour plusieurs classes d'objets convexes et de petites valeurs de k. Dans certains cas, nos algorithmes impliquent des théorèmes (nouveaux ou déjà connus) de type Helly. Nos résultats étendent ceux de Danzer et Grünbaum qui étudièrent le cas des boîtes. Les problèmes étudiés ici sont liés à des problèmes d'optimisation où on cherche le plus petit facteur homothétique d'un objet convexe K à symétrie centrale tel qu'un ensemble de points puisse être couvert par k homothètes congruents de K. Actuellement, nous considérons des heuristiques dans le cas (pratique) d'objets épais.

Par ailleurs, nous avons étudié [43, 30] un algorithme simple et efficace pour percer un ensemble S de n boîtes isothétiques de dimension d, c'est-à-dire un ensemble de points tel que chaque boîte contienne au moins un de ces points. Ceci a de nombreuses applications en VLSI, en problèmes de couvertures, en constructions de structures de données, etc. Notre algorithme calcule un ensemble de c points perçant S en temps sensible à la sortie et espace linéaire. Si est le nombre minimal de points requis pour percer , alors nous montrons que , où est la puissance factorielle croissante : . Puisque trouver un ensemble minimal de points est un problème NP-complet dès que d>1, nous obtenons une heuristique adaptative efficace pour percer S en temps sensible à la sortie et espace linéaire. Dans le cas de boîtes isothétiques congruentes ou de boîtes isothétiques contraintes, notre algorithme renvoie au plus et points. De plus, nous prouvons que les bornes obtenues sur c sont précises et corroborons nos résultats théoriques par des performances pratiques. Nous décrivons également un algorithme adaptatif optimal qui calcule un ensemble de taille minimale de points S perçant une famille d'intervalles.

Ce travail a été mené partiellement en collaboration avec Matthew Katz, université Ben Gurion, Israël.

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