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Participants : Pascal Desnoguès, Olivier Devillers
Mots-clés : triangulation, triangulation de Delaunay, modélisation de surface
Soit une surface z=f(x,y) et
un ensemble de points
pris sur cette surface. Si on projette dans le plan xy et qu'on construit une
triangulation de son enveloppe convexe, on obtient, en relevant
cette triangulation, une approximation linéaire par morceaux de
la surface. La qualité d'une triangulation est liée à une mesure
de l'erreur de l'approximation, et on cherche à caractériser les
triangulations optimales de ce point de vue.
Un algorithme a ainsi été construit et programmé, qui permet
de déterminer une triangulation localement optimale pour la norme
de l'erreur
d'approximation d'une surface quadratique ; la nouveauté est
que l'algorithme est adapté aussi bien aux cas convexes que non
convexes (paraboloïdes hyperboliques ou ``selles de cheval''). Le
programme, dont les opérations élémentaires sont les échanges de
diagonales des triangles adjacents, testé sur des ensembles de 15
à 500 points, a montré que la qualité de la triangulation était
fortement liée au nombre de points sur l'enveloppe convexe (plus
il y en a, meilleurs sont les triangles du bord qui ne peuvent
pas être détruits par échange de diagonales). Des recherches
empiriques ont permis également de calculer la norme 
du paraboloïde hyperbolique d'équation
et ainsi d'adapter le
programme à la recherche de triangulations -optimales (les résultats sont très proches de ceux
observés pour la norme ). D'autres
algorithmes de recherche de triangulations globalement optimales,
par recuit simulé ou exponentiellement par retour en arrière, ont
montré que, pour des ensembles de taille réduite, la
triangulation localement optimale rendait un résultat
satisfaisant, car peu éloigné de l'optimal global. Tous ces
résultats, en plus de la partie théorique et d'une étude
bibliographique sur les diverses utilisations des triangulation,
ont été rédigés et abondamment commentés dans la thèse de
P. Desnoguès [1].
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