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Filtrage avec observations parfaites

Nous avons abordé cette année l'étude des problèmes de filtrage non-linéaire avec observations parfaites (non-bruitées) en temps continu. A chaque instant, on dispose de l'information exacte que l'état inconnu appartient à un certain ensemble de niveau de la fonction d'observation. Cet ensemble est en général de mesure de Lebesgue nulle, et la distribution a posteriori de l'état ne peut avoir de densité par rapport à la mesure de Lebesgue. En principe, il est également possible d'observer la dérivée par rapport au temps de la variation quadratique du processus d'observation, ce qui fournit une autre mesure parfaite. Dans la pratique, il est peu réaliste de prétendre disposer de cette quantité, et nous avons donc supposé que cette quantité dépendait uniquement de l'observation à l'instant considéré, c'est-à-dire n'apportait aucune information supplémentaire. Cette hypothèse est rencontrée par exemple dans le cas d'une mesure de distance. Sous cette hypothèse, nous avons obtenu une forme explicite pour la densité de la distribution a posteriori de l'état, par rapport à la mesure canonique de l'ensemble de niveau, tant que la trajectoire du processus d'observation reste dans l'ensemble des valeurs régulières de la fonction d'observation.