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Identification récursive des chaînes de Markov cachées

Nous avons poursuivi l'étude statistique des chaînes de Markov cachées, avec un nombre fini et connu d'états. Nous avons montré que le filtre de prédiction et ses dérivées successives (gradient et hessien) oublient leur condition initiale avec une vitesse exponentielle. Nous en avons déduit une propriété d'ergodicité géométrique pour la chaîne de Markov augmentée, formée de la chaîne de Markov non-observée, de la suite des observations, du filtre de prédiction et de ses dérivées successives, d'où l'existence d'une unique mesure invariante, et d'une solution à l'équation de Poisson [65]. Ces résultats préliminaires nous ont permis de montrer la consistance forte (c'est-à-dire la convergence presque sûre de toute suite) de l'estimateur de maximum de vraisemblance et de l'estimateur de l'erreur de prédiction minimale, vers l'ensemble des minima de la fonction de contraste associée (information de Kullback-Leibler en ce qui concerne l'estimateur du maximum de vraisemblance). Nous avons également montré, sous une hypothèse d'identifiabilité, la normalité asymptotique des deux estimateurs.