Précédent : Modèles d'hystérésis et applications Remonter : Modèles d'hystérésis et applications Suivant : Modélisation de frottements secs
Précédent : Modèles d'hystérésis et applications
Remonter : Modèles d'hystérésis et applications
Suivant : Modélisation de frottements secs
Participants : Pierre-Alexandre Bliman, Alexandre M.
Krasnosel'skii, Michel Sorine Nous avons continué les recherches
sur les propriétés qualitatives des équations différentielles
couplées avec des opérateurs d'hystérésis. Nous nous sommes plus
particulièrement intéressés à l'existence de cycles limites pour
des systèmes à relais, qui modélisent, par exemple, la régulation
de la richesse des gaz d'échappement d'un moteur thermique par
une loi de commande ``tout-ou-rien'' : lorsque la richesse à
contrôler descend en-deça de 
% de la
valeur stoechiométrique, le mélange est enrichi (relais à
1) : durée d'injection d'essence plus longue; il est
appauvri lorsque la richesse excède 
% de
cette valeur (relais à -1). Le comportement ``tout-ou-rien''
vient du capteur de richesse utilisé, une sonde ``lambda''.
L'hystérésis est introduite par le contrôleur.
Nous avons considéré les systèmes de la forme
où la fonction de transfert M/L est stable, et
le choix des seuils du relais non-idéal 
est tel que toute solution exécute un nombre infini de
transitions entre les deux modes du système, solutions de
.
Du fait des propriétés de , lors de
l'étude des solutions périodiques, on a affaire à des opérateurs
de Poincaré discontinus : l'instant auquel un changement de
mode a lieu peut varier de manière discontinue au voisinage d'une
trajectoire rencontrant tangentiellement une surface de
transition. Une analyse plus fine permet cependant de donner des
conditions suffisantes de continuité, et de conclure ainsi à
l'existence de solutions périodiques à l'aide du théorème de
point fixe de Brouwer. Ces idées sont appliquées à des systèmes
du 3ème ordre.