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Participants : Hervé Bernier, Fabien Campillo, Frédéric Cérou, Arnaud Kerjean, Etienne Pardoux, Elisabeth Remy
Dans un souci de simplification, on se limite à l'étude d'un écoulement stationnaire monophasique incompressible dans un champ de perméabilité aléatoire (ergodique). La loi de Darcy conduit alors à une EDP elliptique à coefficients aléatoires et d'opérateur aux dérivées partielles de « forme divergence ».
En régime permanent, l'écoulement u(x) d'un fluide monophasique incompressible dans un milieu poreux hétérogène saturé est régi par la loi de Darcy :
où p(x) est la pression locale, 
, k(x) désignant la perméabilité du
milieu et 
la viscosité du
fluide. 
est la conductivité
hydraulique, u(x) est le flux du fluide.
L'incompressibilité ( 
) se traduit
par :
On s'intéresse au problème d'homogénéisation en milieu hétérogène, c'est à dire on considère la famille d'équations :
dont les solutions convergent vers 
(déterministe) solution d'une équation de la forme :
où 
donne la perméabilité
effective du milieu (si ce milieu est isotrope, la perméabilité
effective se réduit à une constante scalaire).
Nous avons d'abord utilisé, pour approcher la solution de l'équation (3 ), des méthodes relativement classiques (en l'occurrence certains schémas aux différences, ainsi que la méthode de renormalisation) non spécifiques au cadre aléatoire et, à l'aide d'argument tenant compte le plus souvent du contexte physique, nous en avons déduit des approximations numériques. Les analyses numériques de ces problèmes font apparaître, comparées par exemple à celles des problèmes à coefficients périodiques (qui est une autre façon de modéliser l'hétérogénéité du milieu), que les contraintes de discrétisation sont nettement plus restrictives (en terme de finesse de maillage, de vitesse de convergence).
Nous avons ensuite fait appel aux méthodes de marches aléatoires (ou méthodes de « fourmis dans un labyrinthe »). La perméabilité effective du milieu est alors fonction de la distance parcourue par la marche (en moyenne, ou par une trajectoire grâce au théorème ergodique) depuis un point de départ initial. Deux types de marches ont été considérés : en temps discret et en temps continu.
À chaque site x de l'échiquier est associée une
conductivité hydrolique 
. Chaque
site x dispose de 4 voisins 
,
, 
et 
(en dimension
2) ; on calcule alors la moyenne harmonique :
et 
.
Dans le cas de la marche en temps discret, à chaque unité de
temps, on passe du site x à son voisin 
avec la probabilité 
(c'est à dire « avec d'autant plus de facilité que la connexion
est perméable »).
Dans le cas de la marche en temps continu, on reste un temps
1/m sur ce site (c'est à dire « d'autant moins longtemps
que le milieu est localement perméable en x »), puis on
saute au voisin avec la probabilité
(c'est à dire « avec
d'autant plus de facilité que la connexion est perméable »).
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