Projet :
ALGO
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Contrats industriels
(nationaux, européens et
Sous-sections
Algorithmique et modélisation des réseaux
Participants : Jean-François Dantzer, Vincent Dumas,
Philippe Robert, Jean-Marc Wachter.
Avec la normalisation mentionnée dans la
section 3.4,
Ch. Fricker ( MEVAL), Ph. Robert et
D. Tibi (Université de Paris VII), s'intéressent aux
problèmes d'estimation de la vitesse d'atteinte de l'équilibre de
files d'attente à N serveurs et une file de capacité
N. Le but général est de donner l'estimation asymptotique
de l'instant de cut-off : avant celui-ci, le
processus est très près de l'état initial et après l'état
stationnaire est atteint. La distance utilisée ici entre les
distributions est celle de la convergence en variation totale. La
seule méthode connue dans le domaine des files d'attente consiste
à calculer explicitement les transitoires des processus
incriminés; ce n'est effectivement possible que pour de très
rares cas. L'objectif étant bien sûr de développer des méthodes
pour décrire qualitativement l'approche de l'équilibre dans des
réseaux généraux. Cette année le travail sur le cas d'une seule
file d'attente [[10]] a été complété et nous
nous sommes intéressés au cas de la dimension deux. Les
techniques de couplage de la dimension un ne peuvent être
utilisées dans ce cadre. De plus, les résultats de convergence au
premier et au second ordre doivent être établis : le
processus renormalisé `` vit'' soit dans des zones d'épaisseur
d'ordre 
(N est le facteur
d'accélération du temps), soit dans des bandes finies. Cette
inhomogénéité de comportement complique sensiblement l'étude par
rapport au cas de la dimension un.
Nous nous intéressons ici à un
modèle d'allocation de ressources : divers types de trafic
arrivent avec des demandes de débit très différentes ; il
est toujours possible par un mécanisme de réservation et en
segmentant ces trafics de leur allouer la totalité de la bande
passante. L'inconvénient de ce type de méthode réside dans le
post-traitement nécessaire pour recomposer les trafics initiaux.
Ces problèmes peuvent se formuler en terme de bin
packing dynamique : une boîte de taille 1 (la
capacité maximale du réseau) et des arrivées de pièces dont la
taille est inférieure à 1, chaque pièce demandant à rester dans
la boîte le temps de son service (autrement dit, occupe une
fraction de la bande passante). Les questions naturelles qui se
posent concernent le débit maximal d'un tel système, ou encore la
politique d'allocation qui maximise celui-ci. Ce cadre avait été
étudié, pour des raisons très différentes, dans l'article
[KR90]; nous avions
alors calculé le débit maximal dans le cas où les temps de
service sont exponentiels, les tailles des pièces indépendantes
équidistribuées et la discipline de service premier
arrivé-premier servi. Les problèmes d'allocation de bande
passante ont mis en valeur tout l'intérêt de ce type de modèle,
voir les travaux récents de Coffman et Stolyar (ATT research).
J.-F. Danzter, M. Haddani et Ph. Robert ont étudié le
cas de la discipline First Fit : sous les
hypothèses probabilistes mentionnées ci-dessus, un message est
alloué si la place résiduelle dans la boîte le permet et si aucun
des messages arrivés avant lui dans la file d'attente ne peut
être alloué. La difficulté de ce modèle vient du fait que la
suite des tailles des pièces dans la file d'attente n'est pas
i.i.d. en raison des prélèvements successifs à
l'intérieur de celle-ci. L'espace d'état décrivant le modèle est
de dimension dénombrable, donc délicat à manipuler. Les problèmes
techniques soulevés sont similaires à ceux, non résolus pour
l'instant, des réseaux de file d'attente multi-classe FIFO.
Nous avons conduit l'étude complète d'un modèle simple pour
lequel il n'y a que deux tailles de messages possibles, 1 et
a. Le critère de stabilité dans ce cas est facile à
obtenir. Plus surprenant est le comportement du système en cas
d'instabilité. Cette étude d'instabilité est indispensable pour
aborder les cas plus généraux : en effet même si globalement
un système est stable, un de ses sous-systèmes peut se comporter
momentanément de façon instable ; la classification de tous ces
sous-systèmes est donc nécessaire. Dans notre exemple, si
Nx est le nombre de messages de taille x
= 1 ou a en attente dans la file, le vecteur
(N1, Na) tend vers l'infini
en zigzagant dans certains cas. Les pentes des zigzags ne sont
pas déterministes mais forment une chaîne de Markov associée aux
états de sortie d'une autre chaîne de Markov transiente. Le
vecteur (N1, Na) n'est pas
markovien mais il se comporte essentiellement comme tel sauf aux
moments des changements de direction où l'on retrouve la
complexité due à la dimension infinie du modèle markovien
sous-jacent.
Dans le cadre d'une collaboration avec F. Guillemin
(CNET-Lannion), nous avons commencé à travailler sur une
extension des résultats obtenus avec Kipnis pour l'algorithme
First Fit. Il s'agit de montrer tout d'abord que, sous
certaines conditions, la bande passante non utilisée est assez
petite, et ensuite d'estimer quantitativement le comportement à
l'équilibre de l'algorithme First Fit (taux de perte
essentiellement). Le modèle retenu est celui où la taille de la
bande passante vaut 512Mo et les tailles des messages sont 32ko,
128ko (petites transactions WEB) et 1Mo, 4Mo (flux multi-media).
Ce travail constitue le travail de thèse de M. Haddani.
Ph.
Robert a rédigé trois chapitres pour le livre `` Réseaux et files
d'attente : méthodes probabilistes'' à venir chez
Springer-Verlag dans la collection Mathématiques et applications
de la SMAI. Actuellement quatorze chapitres sont rédigés.
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