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Etudes
structurelles en théorie des
Participants : Daniel Augot, Lancelot Pecquet, Dominique
Le Brigand.
Ces dernières années, l'évolution des logiciels de calcul formel et le développement du thème Géométrie algébrique et codage, ont amené les chercheurs à formuler d'importants problèmes de recherche en terme de résolution de systèmes d'équations sur les corps finis. Il en est ainsi pour la détermination du poids minimum (capacité de correction) de certains codes, ou pour l'étude du rayon de recouvrement, paramètre qui mesure la distance d'un mot quelconque au code utilisé. Des techniques de décodage, fondées sur la recherche de bases standard, sont aussi à l'étude dont les applications intéressent le codage en général.
D'autre part, les chercheurs étudient activement d'autres environnements (ainsi les modules plutôt que les corps finis), d'autres codes que ceux actuellement utilisés (ainsi les codes géométriques) et de nouvelles techniques de décodage. La meilleure référence est la société IEEE, qui dans le domaine de la Théorie de l'Information, organise régulièrement des séminaires et publications sur ces sujets.
Sur ce thème, nous nous situons plutôt en algorithmique Nous nous intéressons d'abord à concevoir ou étudier des algorithmes (implémentations, complexité, programmation de fonctionnelles issues de la géometrie algébrique ...).
Le décodage des codes en bloc connaît un regain d'intêret dû, en partie, à l'apparition de nouvelles applications (voir les recherches menées pour la cryptographie §4.5.1). On considère généralement que les algorithmes de décodage des codes géométriques ne sont pas suffisamment efficaces. Il existe des codes performants que l'on ne sait pas décoder, ainsi les codes résidus quadratiques -- qui sont des codes cycliques. Il y a là une série de problèmes ouverts (conception et amélioration d'algorithmes spécifiques). D'autre part, il est maintenant bien compris que décoder revient à calculer une base de Groebner d'un idéal. Les algorithmes de ce type, encore trop lents pour être opérationnels, permettent toutefois de décoder au-dessus des bornes théoriques. On peut ajouter qu'il est difficile de décrire maintenant l'ensemble de leurs possibilités et les applications à venir.
C'est vers ce type de problème que nous nous sommes orientés
cette année. D. Augot a présenté à ITW98 [[24]] une méthode de
production d'algorithme de décodage pour les codes cycliques,
jusqu'à la capacité de correction. Alors que le problème du
décodage d'un code binaire est NP-dur, on ne sait pas déterminer
la classe de complexité du même problème pour la famille des
codes cycliques. La méthode introduite ici produit des formules
de décodage, dont il reste à estimer la taille et le coût de leur
implantation. Elle est basée sur l'exploitation des équations de
Newton Ces résultats sont la suite du travail sur les équations
de Newton.
L. Pecquet a débuté sa thèse sur l'algorithme de Sudan. Cet algorithme suscite un vif intêret dans la communauté des décodeurs, car il présente un paradigme nouveau pour décoder (décodage par interpolation plutôt que par calcul de syndromes). Un premier résultat est un gain considérable sur la complexité de l'algorithme. Essentiellement, une méthode de factorisation à deux variables sur les corps finis est remplacée par une itération de Newton. Ces travaux ont été présentés au colloque international Algebraic and Combinatorial Coding Theory [[45]].