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Codes
convolutifs
Les chercheurs du projet s'intéressent aux propriétés générales structurelles des codes, dans un espace ambiant donné. Il s'agit d'un sujet théorique en amont qui a pour but essentiellement de classifier un ensemble d'objets prédéfinis. L'ensemble de ces travaux constitue une base théorique fondamentale pour les actions à finalité cryptographique décrits plus loin (cf. §4.3.4). Il s'agit de caractériser des classes d'objets exceptionnels, de concevoir des outils pour les traiter, de reconnaître une structure ...
Reconnaître deux codes équivalents, reconnaître un code destructuré par permutations, accélérer certaines procédures de décodage, tous ces problèmes relèvent de l'étude des automorphismes des codes - i.e. des transformations isométriques conservant le code. Les chercheurs du projet ont obtenu des résultats importants dans ce domaine. Les plus marquants sont : la détermination du groupe de permutations des codes BCH primitifs et un nouvel algorithme de preuve de l'équivalence de deux codes linéaires binaires.
Utilisant les travaux de Delsarte (1969) et la description des codes affine-invariants par antichaîne, due à P. Charpin (1987), T. Berger et P. Charpin ont pu mettre en place une série d'outils, algorithmiques ou combinatoires, permettant de déterminer effectivement les groupes de permutations. Ce travail, qui donne comme principale application le groupe de permutations des codes BCH primitifs, a été présenté dans plusieurs colloques internationaux. Un article complet est paru fin 1996 sous forme de regular paper dans IEEE Transactions on Information Theory. La détermination complète des groupes d'automorphismes des codes BCH est présentée dans [[6]].
D'autre part, T. Berger s'est intéressé aux groupes d'automorphismes des codes alternants. Ces codes sont des sous-codes des codes de Reed-Solomon généralisés et contiennent les codes de Goppa classiques. Il a montré qu'il existe quatre classes de codes alternants cycliques et que parmi ceux-ci certains sont des codes de Goppa [[26]].
Deux codes sont équivalents par permutation s'il existe une
permutation des coordonnées de l'un le transformant en l'autre.
Le problème de décision associé a été étudié récemment par
Petrank et Roth ![[*]](../icons/foot_motif.gif){kind=icon}
qui ont montré qu'il n'était
pas NP-complet, mais était, en revanche, au moins aussi dur que
le problème de décider de l'équivalence entre deux graphes.
Trouver un algorithme efficace pour résoudre le problème de
l'équivalence des codes présente donc un intérêt certain.
N. Sendrier a conçu et mis en oeuvre un nouvel algorithme, permettant de tester l'équivalence de deux codes linéaires donnés. Cet algorithme est capable de décider, dans presque tous les cas, de l'équivalence (par permutation) de deux codes à partir d'un invariant (i.e. une propriété d'un code invariante par permutation du support). Cet invariant devra pouvoir se calculer en temps polynômial, et devra être discriminant, c'est-à-dire prendre souvent des valeurs distinctes pour deux codes non équivalents. La difficulté consiste à faire fonctionner l'algorithme lorsque souvent n'est pas très proche de tout le temps (par exemple une fois sur deux).
Cet algorithme, dit algorithme de séparation du support (support splitting algorithm) utilise les invariants du Hull - i.e. intersection d'un code avec son dual. L'énumérateur des poids du Hull d'un code est un invariant facile à calculer sauf pour une proportion exponentiellement faible de codes et fournit une discrimination suffisante pour décider de l'équivalence de deux codes et pour retrouver la valeur de la permutation.
Un article, décrivant cet algorithme dans un cadre plus général vient d'être soumis pour publication [[46],[62]], Les diverses applications possibles de l'algorithme, en relation avec la solidité de certains cryptosystèmes sont présentés dans §4.5.
Dans le cadre de sa thèse, G. Skersys a étudié avec N. Sendrier
les algorithmes de calcul des groupes d'automorphisme des codes
linéaires. Les résultats, une amélioration importante de
l'algorithme le plus utilisé, sont présentés dans [[61]].
Les codes de Goppa binaires sont souvent dits quasi-aléatoires -- i.e. très ``proches'' des codes aléatoires. C'est sans doute pour cette raison qu'ils sont utilisés dans certains cryptosystèmes (voir §4.5.1). D'autre part leurs propriétés, combinatoires ou algébriques, sont liées aux propriétés générales des polynômes sur les corps finis (en caractéristique 2), et ceci de façon plus évidente que pour n'importe quels autres codes. Une partie de l'étude demandée par la DRET (voir §6.1.1) porte sur la structure des codes de Goppa binaires et un certain nombre de travaux ont été effectués dans ce contexte (voir §4.3.1 et 4.5.1).
G. Bommier étudie dans le cadre de sa thèse les codes de Goppa
binaires dont le groupe d'automorphismes est non trivial. Avec
F. Blanchet, il a exhibé certaines contraintes explicites
sur les paramètres, induisant la quasi-cyclicité d'un
code de Goppa. Un article est soumis [[53]] dont les résultats ont été
présentés au colloque IEEE de théorie de l'information en
1997.
T. Berger a effectué une étude extrèmement fine des groupes de
permutations des codes de Goppa afin d'identifier des structures
particulières. Ses résultats sont importants, prolongeant
notamment les travaux de H. Stichtenoth. Il obtient de nouvelles
familles de codes de Goppa cycliques qui ne sont pas des codes
BCH. Il exhibe des codes de Goppa non cycliques dont le sous-code
de poids pair est cyclique. Il obtient enfin de nouvelles
familles de codes de Goppa d'extension cyclique (voir [[27],[51],[50]]).
P. Loidreau a construit des nouvelles familles de codes dérivés
de codes de Goppa possédant certains invariants. Des bornes en
distance et en dimension des codes de Goppa, on peut déduire des
bornes en distance et en dimension des codes dérivés [[42],[43]].
L'intérêt de cette nouvelle famille de codes est de représenter presque parfaitement les codes de Goppa dont ils sont issus, tout en étant de longueur et de dimension bien plus petites.
Cette famille de codes constitue une classe de clés faibles du cryptosystème de McEliece (voir §4.5.1).
P. Charpin a poursuivi l'étude des codes cycliques de grande dimension, travail en collaboration avec A. Tietäväinen (université de Turku) et V. Zinoviev (IPPI, Académie des Sciences de Moscou).
Il s'agit de jeter les bases d'une classification des codes engendrés par deux polynômes minimaux. Les objets étudiés sont fondamentaux, apparaissant dans plusieurs problèmes issus de la théorie des corps finis (séquences, fonctions booléennes, log. discret ...). P. Charpin a présenté une synthèse de ce sujet (Institut de Mathématiques Appliquées, Université du Minnesota [[35]]). Un premier article est paru fin 1997 [[14]]. Un autre article va paraître traitant des codes définis sur des corps de caractéristique impaire [[15]].
L'étude des codes cycliques primitifs est étroitement liée à
l'étude de certaines suites binaires ou encore des permutations
utilisées dans le chiffrement par blocs. Les travaux des
chercheurs du projet sur ce thème, notamment les résultats
récents de A. Canteaut et P. Charpin [[9]], sont décrits plus loin,
§4.5.2.
L'introduction par Hammons et al. (1993) de la notion de code Z4-linéaire a ouvert un pan complet de recherche dans le domaine des codes correcteurs d'erreurs. Il n'existait pas jusqu'a présent de généralisation de cette notion à celle de code Z2k-linéaire. C. Carlet a introduit récemment une telle généralisation. Il en a déduit de nouveaux codes, qui généralisent les codes de Kerdock et de Delsarte-Goethals [[12]].
C. Carlet a également caractérisé les codes Z4-linéaires dont les mots non nuls sont tous de même poids (article soumis aux actes du colloque ICCC'97 [[33]]) et établi une borne supérieure et une borne inférieure sur leur distance au code de Reed-Muller d'ordre 1. Cette distance joue un rôle important en cryptographie.
Enfin, il a poursuivi l'étude des codes de Kerdock du point de vue de leur Z4-linéarité dans un article présenté au colloque international Finite Fields and Applications [[30]].
F. Laubie poursuit l'étude des codes lexicographiques, codes produits itérativement à partir d'un alphabet donné. Dans [[59]], il construit des codes de type Greedy qui sont naturellement linéaires, quelque soit la caractéristique du corps constituant l'alphabet.