Projet :
ESTIME
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Sous-sections
Problèmes inverses
Mots clés : Problème inverse, estimation
de paramètre, moindres carrés .
Glossaire :
Problème mal posé Problème dont la solution n'existe
pas, ou si elle existe, n'est pas unique ou ne dépend pas de
façon continue des données
Moindres carrés On cherche à minimiser l'erreur
quadratique entre les mesures réelles et les quantités
correspondantes calculées par le modèle pour divers jeux de
paramètres
Résumé :
Un problème inverse, ou d'estimation de paramètre, consiste
à rechercher les coefficients d'une équation aux dérivées
partielles, à partir de mesures sur sa solution. Une
formulation aux moindres carrés utilisant les techniques de
contrôle optimal est une façon naturelle de poser ce
problème.
Les problèmes inverses sont typiquement mal posés, ce qui
donne une grande importance à leur formulation. D'autres
difficultés spécifiques sont dues à la grande taille des
problèmes rencontrés, au calcul exact du gradient de la
fonction coût, au choix de la paramétrisation, ainsi qu'aux
questions théoriques liées à l'identifiabilité.
Considérant une équation aux dérivées
partielles ou un système de telles équations, le problème direct
consiste à calculer la solution, connaissant les coefficients et
les termes sources. Cependant, ces coefficients et ces termes
sources sont souvent mal connus. Pour terminer la modélisation,
il faut donc encore résoudre le problème inverse : étant
données des mesures sur une observation de la solution, calculer
une estimation des coefficients et/ou des termes sources de
l'équation ou du système d'équations considéré.
La classe de problèmes considérés actuellement porte
essentiellement sur l'estimation de coefficients. Ceux-ci peuvent
dépendre soit de la variable d'espace, soit du temps, soit être
des fonctions de la solution (non-linéarités de l'équation). Le
problème d'estimation de paramètres est formulé comme un problème
de minimisation au sens des moindres carrés, la variable de
minimisation étant le vecteur des paramètres à estimer, et la
fonction à minimiser étant une évaluation en norme
L2 de la différence entre l'observation
calculée par le modèle avec un jeu donné de paramètres et celle
mesurée effectivement. Dans les problèmes abordés le nombre de
paramètres sera grand (d'une vingtaine à un million), ce qui
conduit à l'utilisation pour l'optimisation de méthodes
itératives de type gradient utilisant l'état adjoint.
Difficultés des problèmes inverses
Les problèmes inverses
tels qu'ils viennent d'être rapidement décrits présentent de
nombreuses difficultés liées à leur non-linéarité, à leur taille,
au fait qu'ils sont très gourmands en temps de calcul et qu'ils
sont souvent mal posés. Ils se formulent comme des problèmes
d'optimisation, souvent de grande taille.
Depuis les travaux de J.-L. Lions et de G. Chavent
au début des années 70 montrant comment résoudre les problèmes
d'estimation de coefficients par les techniques de contrôle
optimal, le savoir-faire a considérablement évolué et on peut
aujourd'hui identifier les directions de recherche suivantes
comme essentielles :
- Choix de la formulation : suivant la façon dont est
formulé le problème inverse - choix des paramètres à estimer,
choix de la fonctionnelle à minimiser - le problème de
minimisation associé est plus ou moins bien posé. Une bonne
compréhension du problème physique est nécessaire pour faire
les bons choix.
- Choix de la paramétrisation : c'est souvent un
problème non trivial de choisir la représentation discrète des
paramètres à estimer. Ce choix a aussi une influence sur le
conditionnement du problème de minimisation associé et sur
l'unimodalité de la fonction coût, comme l'a montré le succès
des paramétrisations multi-échelles.
- Génération automatique de logiciels : l'écriture de
programmes calculant le gradient par la méthode de l'état
adjoint est toujours longue et laborieuse, alors que cette
procédure pourrait être automatisée. Deux voies, s'appliquant à
des situations différentes sont possibles : génération
automatique simultanée des programmes de calcul de la fonction
à minimiser et de son gradient - ainsi le programme Gradj écrit
en Maple et développé au sein de Ident et Estime -, ou
génération du seul programme de calcul du gradient à partir
d'un programme déjà existant de calcul de la fonction à
minimiser - voie choisie par exemple par Odyssée développé au
sein du projet Safir. Cette deuxième voie s'impose quand de
gros programmes de calcul existent déjà, alors que la première
est plus adaptée quand le simulateur peut être réécrit.
- Efficacité dans la résolution du problème direct :
dans les problèmes que nous considérons la résolution du
problème direct est très coûteuse. On doit donc chercher à
améliorer les techniques de résolution de ce problème -
amélioration des méthodes numériques, utilisation du
parallélisme - ou à utiliser des modèles simplifiés. Une partie
de ce travail est fait en dehors du projet (par exemple dans le
projet Ondes pour la sismique).
- Identifiabilité : la question se pose toujours, de
façon théorique et pratique, de savoir si les mesures sont
suffisantes pour estimer les paramètres que l'on cherche, et
comment l'incertitude sur les mesures se répercute sur les
paramètres estimés. Les questions de stabilité et
d'identifiabilité sont donc au coeur de l'estimation de
paramètres et sont intimement liées au choix de la
paramétrisation.
- Optimisation : les problèmes inverses se ramenant à des
problèmes d'optimisation, il est nécessaire d'avoir à sa
disposition des méthodes d'optimisation efficaces adaptées aux
difficultés de ses problèmes, en particulier non-linéarité,
grande taille, coût important de la fonction à minimiser.
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