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Mots clés : Eléments finis, volumes finis, calcul parallèle, décomposition de domaine .
Glossaire :
Décomposition de domaine Technique de résolution d'un problème qui consiste à partitionner son domaine de définition en plusieurs sous-domaines.
MPI Message Passing Interface. Spécification d'une bibliothèque standard permettant de faire communiquer des processus s'exécutant sur des processeurs différents d'une machine parallèle.
= - K
P, reste régulière même lorsque
le coefficient K, la perméabilité absolue, varie beaucoup,
pour satisfaire les propriétés de conservation des différents
fluides (phases). Cette situation se retrouve dans d'autres
applications comme la diffusion neutronique ou les
semi-conducteurs. En utilisant les moyennes harmoniques de
K, les méthodes de volumes finis centrés sur les mailles
permettent d'obtenir de bonnes approximations de la vitesse de
Darcy, même lorsque K varie beaucoup, tout en respectant
les propriétés de conservation au niveau de la maille de
discrétisation.
Les méthodes d'éléments finis mixtes sont une généralisation
de ces méthodes de volumes finis centrés sur les mailles qui,
s'appuyant sur des formulations variationnelles, ont permis de
traiter le cas des maillages non-structurés utilisant des mailles
triangulaires ou tétrahèdriques. Les éléments finis mixtes ont
permis aussi de traiter le cas où K n'est plus ni un
coefficient scalaire ni même une matrice diagonale, mais une
matrice pleine en dimension 2 ou 3. Cependant ces méthodes sont
plus coûteuses que les méthodes de volumes finis puisqu'il faut
résoudre un système linéaire pour déduire la vitesse de la pression P. De plus, étant plus
abstraites car basées sur la formulation variationnelle, ces
méthodes ont moins d'attrait pour les physiciens.
Ainsi, les relations entre éléments finis mixtes et volumes finis centrés sur les mailles peuvent être encore approfondies. D'une part, on peut présenter les méthodes d'éléments finis mixtes, notamment en utilisant la formulation mixte-hybride, comme des méthodes de volumes finis en introduisant des inconnues de maille - éventuellement plus d'une inconnue par maille - et des inconnues d'arête, et en écrivant les équations maille par maille, puis en explicitant les relations entre les mailles. On obtient ainsi ce qu'on peut appeler des éléments finis généralisés. D'autre part, on cherche à écrire des formulations volumes finis sur des maillages de triangles ou de tétrahèdres, de rectangles ou d'héxaèdres déformés. Même sur un maillage de rectangles, il est difficile d'écrire une formulation volumes finis dans le cas où K est une matrice non-diagonale.
Pour les écoulements finis en milieux poreux, on peut être ainsi amené à utiliser un modèle monophasique dans une partie du domaine qui est saturée, un modèle diphasique ou triphasique dans une région qui est non-saturée, un modèle double porosité là où le milieu est fracturé, et des failles peuvent traverser le milieu. Parfois, même si le modèle ne change pas, une variation brusque du milieu - changement de type de roche - introduit des conditions de transmission non-standard sur l'interface.
Pour ce genre de problèmes, les méthodes de décomposition de domaine sans recouvrement sont appropriées. Elles permettent de faire coïncider les sous-domaines de calcul avec les sous-domaines physiques. Évidemment, ces méthodes doivent pouvoir utiliser des pas de temps locaux car les échelles de temps associées aux différents sous-domaines peuvent varier beaucoup.
Une classe de méthodes générales pour obtenir des algorithmes parallèles pour la résolution d'équations aux dérivées partielles sont les méthodes de décomposition de domaine. Ces méthodes ont été étudiées de façon intensive dans le cas des problèmes elliptiques. Elles constituent actuellement le moyen le plus général d'obtenir des applications portables et efficaces sur une large gamme d'ordinateurs parallèles. Leur mise en oeuvre effective est facilitée par l'existence de bibliothèques telles que MPI. Nous étudions des extensions de leur champ d'application dans différentes directions :