Projet : ICARE

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Sous-sections

• Stabilisation d'un chariot suivi de remorques à attaches décentrées
• Non-robustesse de la stabilisation de systèmes non-linéaires par des retours d'état homogènes continus
• Stabilisation exponentielle robuste de systèmes sans dérive
• Stabilisation robuste par retour d'état continu de systèmes chaînés
• Stabilisation référencée vision d'un bras manipulateur mobile
• Étude de l'instabilité de la course du monopode planaire sauteur

   
Stabilisation de robots mobiles et de systèmes non-linéaires

Participants : Claude Samson, Pascal Morin, Dimitris Tsakiris, David Lizárraga.

Mots clés : commande instationnaire, système homogène, retour d'état continu, commande robuste, robot mobile, commande référencée vision .

Résumé :

On s'intéresse à la stabilisation de systèmes non-linéaires commandables, mais dont le linéarisé n'est pas stabilisable. La motivation sous-jacente est la commande des robots mobiles à roues, dans la mesure où les contraintes de non-holonômie associées au roulement sans glissement des roues sur le sol donnent lieu à ce type de système non-linéaire. La majeure partie du travail réalisé cette année porte sur les problèmes de robustesse vis à vis de dynamiques non-modélisées.

Stabilisation d'un chariot suivi de remorques à attaches décentrées

Le problème de la stabilisation d'un chariot suivi de remorques a été largement étudié ces dernières années. Les travaux antérieurs du projet ont permis d'apporter des solutions à ce problème, lorsque le point d'attache de chaque remorque est situé au mileu de l'axe des roues arrières du véhicule précédent (système dit « à attaches centrées »). Dans le cas contraire, le système ne peut plus être transformé en système chaîné, et les techniques développées jusqu'alors pour cette classe de systèmes ne s'appliquent plus. Dans le cadre de ce travail [[27],[32]], nous montrons qu'il est possible d'approcher le modèle cinématique du système à attaches décentrées, autour de postures particulières, par un système en forme chaînée. Cette approximation, au sens des systèmes homogènes, est une extension de la notion d'approximation linéaire. Grâce à ce résultat, nous montrons alors que des retours d'état instationnaires développés précédemment permettent de stabiliser, localement mais exponentiellement, ces configurations particulières. Cette approche a l'intérêt de fournir des lois de commandes particulièrement simples, quel que soit le nombre de remorques.

Les configurations qu'il est possible de stabiliser par une telle approche peuvent être décrites comme suit. Lorsque le véhicule de tête suit un chemin de courbure constante (pas trop grande), on peut choisir les orientations relatives de départ (i.e. les angles entre les véhicules successifs) de façon à ce qu'elles restent constantes le long du chemin suivi. Dans ce cas, tous les points du système suivent des trajectoires circulaires concentriques (ceci inclut le cas dégénéré où les orientations relatives sont toutes nulles et les cercles deviennent des droites). Ce choix d'orientations relatives correspond précisément aux configurations que l'on peut stabiliser par notre approche.

Non-robustesse de la stabilisation de systèmes non-linéaires par des retours d'état homogènes continus

Les propriétés d'homogénéité jouent un rôle essentiel dans le cadre des systèmes non-linéaires commandables, car la plupart de ces systèmes peuvent être localement approchés, autour de points d'équilibre, par un système homogène, lui-même commandable (l'exemple le plus simple de système homogène étant le système linéaire). Dans ce cas, il est naturel d'aborder le problème de la stabilisation en recherchant des retours d'état eux-mêmes homogènes. Cette approche a donné lieu à des méthodes de synthèse très générales (voir par exemple [MPS96]), et permet en outre de garantir en théorie une convergence exponentielle.

Dans ce travail [[33]], nous avons étudié les propriétés de robustesse de ces lois de commande, vis à vis de dynamiques non-modélisées. Le résultat principal porte sur des conditions suffisantes pour qu'une loi de commande homogène, stabilisant asymptotiquement l'origine d'un système nominal, ne stabilise pas l'origine de systèmes obtenus à partir du précédent par de petites perturbations des champs de commande. Ce résultat s'applique à la fois aux systèmes sans et avec terme de dérive. Dans le cas des systèmes sans dérive, il en découle des conséquences fortes quant à la non-robustesse des retours d'état homogènes. Par exemple, pour les systèmes non-holonômes de type chariot avec remorques, on peut montrer qu'il n'existe aucun retour d'état homogène robuste vis à vis des perturbations considérés. En pratique, cela signifie que les lois de commandes continues et homogènes disponibles actuellement pour ces systèmes mécaniques, assurent une convergence vers un voisinage de la configuration à stabiliser, mais ne peuvent garantir une convergence asymptotique vers la configuration elle-même.

Stabilisation exponentielle robuste de systèmes sans dérive

Concernant la classe de systèmes non-linéaires commandables que nous étudions (approximation linéaire non stabilisable, point d'équilibre non asymptotiquement stabilisable par retour d'état continu non-dépendant du temps), ayant démontré qu'aucun retour d'état homogène continu instationnaire ne peut assurer la stabilité d'un point d'équilibre du système de façon robuste aux erreurs de modélisation, motivés aussi par [BR95] où une solution au problème de robustesse est proposée pour les systèmes chaînés en utilisant des commande en boucle ouverte réinitialisées périodiquement en fonction de l'état du système observé à ces instants, nous nous sommes tournés vers ce type de retours d'état pour dégager des solutions au problème de stabilisation exponentielle robuste des systèmes (S₀) de la forme $\dot{x}$ = $\sum_{i=1}^{m}$f_i(x)u_i.

Nous supposons, pour simplifier les notations, que (x = 0, u = 0) est le point d'équilibre que nous cherchons à stabiliser.

Les commandes que nous considérons sont des fonctions u : (y, t) $\mapsto$ u(y, t)continues en la variable y et périodiques en la variable temporelle t. Soit T une période d'une telle fonction (c'est à dire telle que u(y, t + T) = u(y, t)), la commande appliquée au système à l'instant t est u(y(t), t), avec y(t) = x(kT) pour t $\in$ [kT,(k + 1)T) et k $\in$ $\mathbb{N}$.

Avant d'aller plus loin, il importe de réaliser que ce type de commande ne peut, par construction et au sens strict de Lyapunov, stabiliser asymptotiquement l'origine du système S₀. Il en est d'ailleurs de même pour tout système $\dot{x}$ = f (x, u) et tout retour d'état constant par morceaux (donc toute commande échantillonnée calculée par ordinateur), ou encore tout retour d'état continu (par rapport au temps) contenant un terme de correction intégral (un classique PID, par exemple). La raison provient simplement du fait qu'une telle commande n'interdit pas à une solution x(t) du système de « passer » par zéro sans « s'arrêter en ce point ». Par contre, rien ne s'oppose a priori à ce que ces commandes u(y, t) puissent stabiliser asymptotiquement l'origine (x = 0, y = 0) du système « étendu »

($$\bar{S}_{0}^{}$$)   :    $$\left\{\vphantom{ \begin{array}{l} \dot{x}=\sum_{i=1}^m f_i(x)u_i... ...\in \mathbb{N} } \delta_{kT})(x-y_{-\alpha})~~~~0<\alpha<T \end{array} }\right.$$$$\begin{array}{l} \dot{x}=\sum_{i=1}^m f_i(x)u_i \\ \dot{y}=(\sum_{k\in \mathbb{N} } \delta_{kT})(x-y_{-\alpha})~~~~0<\alpha<T \end{array}$$ $$\left.\vphantom{ \begin{array}{l} \dot{x}=\sum_{i=1}^m f_i(x)u_i ... ...\in \mathbb{N} } \delta_{kT})(x-y_{-\alpha})~~~~0<\alpha<T \end{array} }\right.$$

où $\delta_{kT}^{}$ désigne l'opérateur classique d'impulsion de Dirac.

Le problème que nous avons traité peut être formulé comme suit. Étant donné un système commandable (S₀), trouver des retours d'état u : (y, t) $\mapsto$ u(y, t), continus par rapport à la variable y, qui stabilisent (localement) exponentiellement l'origine du système $\bar{S}_{0}^{}$ ainsi que l'origine de tout système « voisin »

($$\bar{S}_{\epsilon}^{}$$)   :    $$\left\{\vphantom{ \begin{array}{l} \dot{x}=\sum_{i=1}^m (f_i(x)+h... ...\in \mathbb{N} } \delta_{kT})(x-y_{-\alpha})~~~~0<\alpha<T \end{array} }\right.$$$$\begin{array}{l} \dot{x}=\sum_{i=1}^m (f_i(x)+h_i(\epsilon,x)) u_... ...=(\sum_{k\in \mathbb{N} } \delta_{kT})(x-y_{-\alpha})~~~~0<\alpha<T \end{array}$$ $$\left.\vphantom{ \begin{array}{l} \dot{x}=\sum_{i=1}^m (f_i(x)+h_... ...\in \mathbb{N} } \delta_{kT})(x-y_{-\alpha})~~~~0<\alpha<T \end{array} }\right.$$

où h_i est une fonction continue telle que h_i(0, x) = 0, $\forall$(x,$\epsilon$) $\in$ $\mathbb{R}$ⁿ x $\mathbb{R}$, à la seule condition que |$\epsilon$| ($\neq$ 0) soit suffisamment petit.

La commandabilité du système (S₀) entraîne l'existence de n champs de vecteurs $\tilde{f}_{j}^{}$ ( j = 1,..., n), obtenus en effectuant des opérations de crochets de Lie sur les champs de vecteurs f_i ( i = 1,..., m), tels que la matrice carrée [$\tilde{f}_{1}^{}$(0),...,$\tilde{f}_{n}^{}$(0)]est inversible.

Nous donnons dans [[34]] un algorithme qui permet de construire des solutions au problème posé à partir de la (simple) connaissance d'un retour d'état linéaire v : y $\mapsto$ Kyqui stabilise asymptotiquement l'origine du système

($$\tilde{S}_{0}^{}$$)   :    $$\left\{\vphantom{ \begin{array}{l} \dot{x}=\sum_{j=1}^n \tilde{f... ...\in \mathbb{N} } \delta_{kT})(x-y_{-\alpha})~~~~0<\alpha<T \end{array} }\right.$$$$\begin{array}{l} \dot{x}=\sum_{j=1}^n \tilde{f}_j(0)v_j \\ \dot{y}=(\sum_{k\in \mathbb{N} } \delta_{kT})(x-y_{-\alpha})~~~~0<\alpha<T \end{array}$$ $$\left.\vphantom{ \begin{array}{l} \dot{x}=\sum_{j=1}^n \tilde{f}... ...\in \mathbb{N} } \delta_{kT})(x-y_{-\alpha})~~~~0<\alpha<T \end{array} }\right.$$  .

De plus, la « transformation » d'une commande qui stabilise ($\tilde{S}_{0}^{}$)en une commande qui stabilise ($\bar{S}_{0}^{}$) laisse invariant le taux de convergence exponentiel vers zéro des solutions du système commandé. Il suffit donc d'agir sur la matrice de gains K pour régler ce taux de convergence à une valeur désirée quelconque.

L'algorithme de construction s'appuie sur des résultats antérieurs donnés dans [SL91] [Liu97], et présente des similitudes importantes avec [MPS96] où nous proposions une construction pour des retours d'état u : (x, t) $\mapsto$ u(x, t)qui stabilisent exponentiellement l'origine du système S₀, mais dont nous avons montré depuis qu'ils ne sont pas des solutions au problème de robustesse considéré ici.

Stabilisation robuste par retour d'état continu de systèmes chaînés

Pour les systèmes en forme chaînés, on s'est intéressé à la synthèse de retours d'état continus asymptotiquement stabilisants, et robustes vis à vis de dynamiques non-modélisées. Comme on l'a indiqué précédemment, cette robustesse ne peut être obtenue avec des feedbacks homogènes continus, exponentiellement stabilisants. Dans le présent travail, nous montrons qu'il est cependant possible de synthétiser des retours d'état continus, qui garantissent la propriété de robustesse considérée. Toutefois, ces commandes ne sont pas exponentiellement stabilisantes : le taux de convergence des solutions vers le point à stabiliser est seulement polynômial. La méthode de synthèse est systématique dans les dimensions trois et quatre (i.e. pour les modèles cinématiques des robots mobiles de type unicycle et voiture). Pour les dimensions supérieures, une condition sur l'algèbre de Lie des champs de vecteur perturbés est nécessaire pour assurer la robustesse des lois de commande.

Ce travail, réalisé en collaboration avec J.-B. Pomet du projet MIAOU, était l'objet du stage de fin d'études de M. Maini.

Stabilisation référencée vision d'un bras manipulateur mobile

Une base expérimentale, constituée d'un bras manipulateur porteur d'une caméra à son extrémité et monté sur la plateforme mobile Anis, est utilisée pour tester les résultats théoriques développés dans le projet sur le thème de la commande instationnaire. Au delà de l'aspect validation de la théorie, l'intérêt de cette démarche expérimentale est de de mettre en évidence un certain nombre de problèmes non traités par la théorie existante, et de dégager les plus significatifs en vue de les étudier ultérieurement de façon prioritaire.

Les développements actuels concernent deux principales directions de recherche, à savoir i) l'extension de l'approche par fonctions de tâche aux robots mobiles sujets à des contraintes non-holonômes, via le cas particulier de la commande référencée vision, et ii) les aspects de robustesse de la commande que se doit d'incorporer toute théorie de la régulation. Les problèmes de robustesse ont des origines multiples. Citons par exemple, en relation avec nos expérimentations en cours :

• les erreurs de modélisation résultant de la connaissance imparfaite des caractéristiques physiques du robot (ex : position du bras par rapport aux roues du véhicule porteur, position de la caméra sur le bras) et des incertitudes portant sur les mesures nécessaires à l'estimation de l'état du système (ex : offsets codeurs, calibrage de la caméra),
• la discrétisation de la commande imposée par l'utilisation de calculateurs numériques,
• les retards de mesure, dont en particulier ceux associés à la chaîne d'acquisition et de traitements des images vidéo,
• les retards liés au temps de calcul de la commande,
• le multicadencement, généralement asynchrone, des entrées et sorties du sous-système de commande (ex : les mesures visuelles arrivent approximativement à la cadence vidéo de 40 ms, alors que les sorties de commande sont produites toutes les 15 ms, avec des boucles de régulation en vitesse des moteurs fonctionnant à la cadence de 1 ms),
• les bruits de mesure, dont certains sont amplifiés par le mauvais conditionnement de la transformation entre les signaux-image et le vecteur de configuration de la base mobile dans l'espace cartésien,
• les phénomènes de frottements et de jeux mécaniques,
• les limitations des actionneurs en termes de couples produits, vitesses maximales autorisées, temps de montée,...

Alors que ces problèmes -- génériques -- sont traités depuis des décennies dans le cadre de la théorie de la commande des systèmes linéaires (ou approximables par de tels systèmes), très peu d'entre eux ont jusqu'à présent été intégrés dans les études de commande des systèmes « fortement » non-linéaires.

Nos premières expérimentations ont porté sur la mise en oeuvre d'algorithmes de commande continue homogène instationnaire ([[23]], [[22]]) que nous avons adaptés au cadre du retour d'informations visuelles selon une démarche conforme à celle de l'approche par fonctions de tâche, c'est à dire sans passer par une étape intermédiaire de reconstruction explicite de la configuration cartésienne du système à partir des signaux-image. Nous avons aussi intégré une procédure de normalisation du vecteur de commande qui permet de respecter les limitations en vitesse des moteurs indépendamment des conditions initiales, sans modifier le chemin géométrique suivi par le véhicule, et en respectant l'objectif de convergence asymptotique rapide (exponentielle dans ce cas). Ces expérimentations nous ont permis d'observer, au voisinage de la configuration désirée, un certain nombre de problèmes liés à la non-robustesse de ces commandes (cf. sections précédentes) ainsi qu'à leur sensibilité aux bruits de mesure.

Plus récemment, nous avons travaillé sur l'implémentation d'une loi de commande hybride (retour d'état comportant des phases de fonctionnement en boucle ouverte), en adaptant un des algorithmes de commande proposés dans [[34]], dans le but d'améliorer la robustesse vis à vis des erreurs de modélisation (cf. sections précédentes). Cette amélioration a été obtenue après un certain nombre d'ajustements et de précautions au niveau de la mise en oeuvre de la commande. L'intégration de ces éléments dans la théorie fera l'objet de publications ultérieures. Ces expérimentations nous ont également conduit à entamer une réflexion sur les problèmes de robustesse vis-à-vis des retards et des bruits de mesure.

Les figures 1.a et 1.b montrent des relevés expérimentaux de trajectoires réalisées dans le plan horizontal par la base mobile en utilisant respectivement un retour d'état continu instationnaire et un retour d'état hybride instationnaire.

  

Figure 1: Trajectoire (x, y) du robot mobile (resultats experimentaux)

Étude de l'instabilité de la course du monopode planaire sauteur

Ce travail, mené à l'occasion du stage de fin d'études d'A. Hallali, porte sur l'étude du « degré d'instabilité » des trajectoires 1-périodiques non forcées (sans commande) d'un modèle de monopode planaire sauteur (mécanisme à une patte muni de ressorts et capable de courir en sautant). Il s'inscrit dans le prolongement d'une thèse qui avait permis d'observer en simulation, pour un choix des paramètres de dimensionnement du mécanisme correspondant à ceux d'un prototype expérimental étudié au LegLab du MIT dans l'équipe du Professeur Raibert, que le degré d'instabilité des cycles naturels du système variait en fonction de la vitesse de course du mécanisme et, en particulier, croissait très rapidement au delà d'une certaine vitesse [[16]]. Ceci avait permis de comprendre pourquoi les diverses tentatives de stabilisation de ces cycles avaient échoué au delà de cette vitesse. Des expérimentations de commande de ce type de mécanisme, réalisées au LegLab et dans d'autres laboratoires, avaient également mis en évidence la difficulté de maitriser le système au delà d'une certaine vitesse, mais aucune explication n'avait jusque là été offerte pour expliquer ce phénomène. Le présent stage avait pour objectif d'essayer de mettre en évidence le caractère « générique » de ce phénomène d'instabilité et d'analyser les possibilités de modifier le profil d'instabilité du mécanisme en fonction de ses paramètres de dimensionnement (longueur de patte, masses et inerties des éléments du mécanisme, valeurs des coefficients de raideur des ressorts).

Le résultat peut-être le plus marquant de ce travail est d'avoir établi analytiquement que la vitesse à partir de laquelle le degré d'instabilité augmente très rapidement dépend essentiellement de l'accélération de gravité et de la longueur de la patte du monopode, et que sa valeur augmente comme la racine carrée de cette longueur. L'extrapolation de ce résultat à d'autres types de mécanismes à pattes suggère que ces mécanismes, par opposition aux véhicules sur roues, sont structurellement fortement limités dans leur aptitude à atteindre et maintenir des vitesses de déplacement élevées.

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