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Participants : Anne Bagnérés, Emmanuel Blanchard, Jacques
Blum, Stéphane Bouchereau, Isabelle Charpentier, Stéphane
Despreaux, Ioana Paun, Patrick Witomski, Jérome Monnier.
Mots clés : calcul parallèle, capillarité, commande optimale, cristallogénèse, électromagnétisme, frontière libre, fusion nucléaire, micromagnétisme, optimisation de formes, plasma, problème inverse .
Il s'agit d'identifier la densité de courant du plasma à partir d'informations surabondantes comme :
De nombreux problèmes ouverts demeurent, comme le problème
mathématique de l'identifiabilité des sources non-linéaires à
partir des mesures. Nous nous sommes tout d'abord intéressés au
cas cylindrique où l'équation de Grad-Shafranov devient
- 
= f
(), l'identifiabilité de f à
partir de conditions de Cauchy est un problème ouvert dans le cas
général. Des études mathématiques et numériques ont été
effectuées pour améliorer la compréhension de ce problème. Le
problème est formulé par la minimisation de l'écart quadratique
entre les mesures expérimentales et les grandeurs calculées. Une
régularisation de Tikhonov est utilisée pour rendre le problème
stable. La source f est identifiée par décomposition dans
une base de B-splines cubiques. Un algorithme de choix
automatique du paramètre de régularisation est développé, à
l'aide des techniques de validation croisée, qui s'avèrent
cependant assez coûteuses dans la pratique. À l'aide d'un
changement de base par rapport à une norme dérivée de la norme
H2, l'identification peut être réalisée de
façon satisfaisante dans une base d'ondelettes à support compact
de I. Daubechies, sans terme de régularisation dans la
fonctionnelle à minimiser [BB97]. Dans le cadre d'un
nouveau contrat avec le CEA, nous testons ce changement de norme
de type H2 pour l'identification de la densité
de courant dans l'équation de Grad-Shafranov, ainsi que
l'introduction de bases d'ondelettes pour que cela puisse être
mis en oeuvre dans le code opérationnel sur TORE SUPRA .
La modélisation mathématique est dérivée des équations de la magnétohydrodynamique. Elle correspond au couplage entre une équation aux dérivées partielles 2D de type Grad-Shafranov généralisée pour le flux poloïdal, décrivant la collimation de l'écoulement, et l'équation de Bernoulli généralisée, décrivant la conservation de l'énergie de l'écoulement.
La nature mathématique de ce couplage d'équations est complexe, du fait du changement de type de l'équation de Grad-Shafranov (elliptique-hyperbolique) et de la dégénérescence de l'opérateur du second ordre au voisinage de la surface d'Alfven et des surfaces magnétosoniques rapide et lente.
Par ailleurs, l'étude des conditions aux limites rendant le problème bien posé est encore un problème ouvert à l'heure actuelle.
Le travail est mené en collaboration avec l'équipe de Guy Pelletier, du laboratoire d'Astrophysique de l'Observatoire de Grenoble, qui travaille depuis plusieurs années sur la modélisation physique des jets MHD, et avec K. Morawetz du Courant Institute.
Les matériaux ferromagnétiques présentent une aimantation que l'on peut imaginer comme un champ de vecteurs de direction variable et de norme constante. Dans les matériaux que l'on étudie, elle a tendance à s'organiser en domaines, régions où le vecteur est constant, délimités par des parois, zones de transition d'épaisseur très fine. À l'équilibre, la configuration minimise une énergie, l'énergie du micromagnétisme, composée de quatre termes : l'échange, l'anisotropie, l'énergie démagnétisante et celle de Zeeman. Ce minimum est éventuellement local, ce qui se traduit par différentes configurations de paroi possibles.
Lorsqu'on applique un champ externe, il y a deux types d'évolution possibles : soit l'aimantation dans les domaines change de sens, soit les parois se déplacent. Ces phénomènes sont modélisés par l'équation de Landau-Lifshitz-Gilbert ( LLG), équation parabolique non linéaire.
On s'intéresse, d'une part, au calcul numérique de la configuration de paroi et de son déplacement sous l'effet d'un champ appliqué dans un matériau à anisotropie perpendiculaire, d'autre part à la structure en domaine dans des matériaux de géométrie quelconque.
Pour ce premier travail, la structure modélisée est une
plaque. L'aimantation est supposée périodique dans les deux
directions du plan de la plaque. On a obtenu, à l'aide d'un code
de résolution de l'équation de LLG en 3D
implémenté sur Paragon, une configuration d'aimantation à
l'équilibre composée de deux parois rectilignes, l'une contenant
une ligne de Bloch 2
, l'autre sans
structure.
La résolution du second problème a nécessité de refaire le calcul du champ démagnétisant de façon à prendre en compte des structures non périodiques. On utilise la formulation du champ en produit de convolution que l'on calcule dans le domaine de Fourier. Les effets dûs à la périodicité sont neutralisés en ajoutant une zone où le vecteur aimantation est mis à (0,0,0) et en tronquant le tenseur démagnétisant.
Des calculs de ce type ont déjà été publiés pour des matériaux de géométrie cubique ou parallélépipédique. On a généralisé la technique au calcul dans des matériaux de géométrie quelconque. Le matériau est plongé dans une boîte d'air parallélépipédique : le domaine fictif. L'algorithme présente la qualité première de la technique initiale : son efficacité - la complexité est en O(N log N) pour N noeuds de maillage au lieu de N2 lorsqu'on fait le produit de convolution directement - avec, en plus, de la souplesse pour le choix de la géométrie.
On a testé ce code de calcul du champ démagnétisant sur un cube, une sphère et un pôle de tête d'enregistrement magnétique. Les résultats ont été comparés avec des calculs faits avec le logiciel Flux3D et publiés dans [[13]].
Un code résolvant l'équation de LLG complète 3D a été implémenté sur un calculateur parallèle, le Cray T3E [[14]].
Nous nous intéressons à la simulation numérique de procédés de fabrication de monocristaux par solidification à partir d'un bain fondu. Les méthodes classiques de cristallogenèse à partir d'un bain liquide ne produisent en général que des monocristaux de forme cylindrique (méthode Czochralski) ou bien utilisent des moules de formage (méthode Bridgman). Pour former des cristaux de formes quelconques sans usinage a posteriori et en éliminant les problèmes de pollution par le creuset ou le moule, il existe des méthodes par lévitation électromagnétique ou bien par utilisation de forces capillaires. Nous étudions ce dernier procédé. Le matériau est d'abord fondu dans un creuset placé à l'intérieur d'un four. On réalise ensuite un ménisque liquide qui s'appuie sur une filière (frontière extérieure) et sur le cristal (frontière intérieure) qui se forme à partir d'un germe préorienté. Le problème que l'on résout est de déterminer une forme de filière qui assure avec le cristal un contact liquide-solide dans un plan à hauteur constante (l'interface liquide-solide que l'on suppose connue).
Le modèle mathématique utilisé est un problème surdimensionné basé sur l'équation à courbure principale. Nous avons résolu ce problème en lui associant un problème d'optimisation de forme. Les résultats principaux constituent la thèse de S. Despréaux soutenue le 20 novembre 98 ([[8]]). Le travail présenté dans cette thèse comprend deux parties principales : l'étude mathématique de l'équation à courbure principale avec conditions aux limites mixtes, l'étude mathématique et numérique du problème d'optimisation de forme.
L'existence et l'unicité d'une solution pour l'équation à courbure principale est démontrée moyennant une hypothèse liant la courbure et l'épaisseur du domaine. C'est un résultat nouveau car elle permet de travailler sur des domaines non convexes et il est motivé par la nécessité de se placer dans une classe de domaines contenant les filières admissibles qui ne sont pas nécessairement convexes ([[57]]). Un article est soumis à Archive for Rational Mechanics and Analysis.
Dans cette classe de domaines, nous avons ensuite prouvé l'existence d'un domaine optimal et mis au point une méthode numérique pour le calculer, par la technique de variation de domaine. Cependant, numériquement, cette méthode nécessite la donnée d'un bon domaine initial. Si ce dernier est mal choisi, l'algorithme diverge vers une forme souvent fantaisiste. Pour obtenir automatiquement un bon domaine initial, nous avons mis au point une technique d'optimisation de forme par domaine fictif. Le couplage des deux procédés assure la convergence pour les applications usuelles. Ce travail a été présenté par S. Despréaux dans différents colloques ([[48]],[[49]]).
Toujours dans la thématique capillarité, P. Witomski et J. Monnier ont commmencé à travailler sur la suite à donner au travail de S. Bouchereau ([Bou97a]) sur la modélisation et la simulation numérique de l'évolution d'un fluide sous l'effet conjugué des forces de tension superficielle et d'un champ électrique. Notre objectif est d'aller au delà des simulations déjà effectuées par des techniques d'optimisation de forme mais qui n'ont pas permis de mettre en évidence les changements topologiques attendus dans la forme de la goutte de liquide au delà d'un certain potentiel. Nous envisageons une approche nouvelle combinant des techniques de suivi d'interface ([[26]]) et des méthodes de domaines fictifs.