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L'incapacité des modèles linéaires classiques à permettre une
analyse satisfaisante de certaines données, comme les données
binaires, a conduit à élargir l'ensemble des lois considérées et
à définir les modèles linéaires généralisés (GLM). D'autre part,
les modèles linéaires mixtes (L2M), dans lesquels les effets
aléatoires sont venus compléter les effets fixes, ont aussi
répondu à des nécessités pratiques de modélisation. La
combinaison de ces deux extensions des modèles linéaires aboutit
à la définition des modèles linéaires généralisés mixtes (GL2M).
La thèse que C. Trottier a soutenue en juillet 1998 est consacrée
à l'étude et à la mise en place de méthodes d'estimation de
paramètres dans les GL2M. Dans ces modèles, sous une hypothèse
gaussienne de distribution des effets aléatoires 
, la vraisemblance basée sur la distribution marginale
du vecteur à expliquer Y n'est pas en général
explicitement calculable. Deux types d'approximation peuvent être
appliquées suivant que l'on considère une approche conditionnelle
ou une approche marginale. Sous l'approche conditionnelle, nous
proposons une méthode qui consiste à maximiser la distribution
jointe de (Y,) (cf. 3.2) avant de procéder à
l'estimation des paramètres. Ceci équivaut à une linéarisation
conditionnelle du modèle. Dans la seconde approche, nous étudions
une démarche marginale qui repose sur l'approximation des deux
premiers moments marginaux de Ypuis sur l'utilisation de
la quasi-vraisemblance. Nous étendons ainsi à d'autres lois et
fonctions de lien la méthode GAR[GAR85] développée à l'origine dans
le cas d'un modèle binomial avec un lien probit.
Par ailleurs, nous introduisons une notion d'hétérogénéité dans
les GL2M. Cette hétérogénéité traduit des comportements des
effets aléatoires distincts selon les environnements. Elle est
modélisée en attribuant à chaque environnement un paramètre de
variance différent pour ces effets. Nous proposons alors une
méthode d'estimation combinant à la fois la technique de
linéarisation de la démarche conditionnelle précédente et
l'utilisation de l'algorithme EM, bien adapté à cette situation
d'hétérogénéité dans le cas linéaire.
La théorie des modèles ARCH (Auto-Régressifs Conditionnellement Hétéroscédastiques) introduite par Engel[Eng82] peut à juste titre être considérée comme un des développements les plus prometteurs de la décennie pour modéliser le comportement des cours boursiers. Cette classe de modèles non linéaires, caractérisés par une variance conditionnelle, permet de déceler des périodes de volatilité plus faible ou plus forte au cours du temps. Ces modèles permettent aussi d'intégrer des propriétés observées empiriquement sur les séries financières : la dépendance quadratique entre deux observations, la forte sensibilité des variations sur les variations futures, les distributions à queues lourdes (leptokurtisme) des rentabilités. L'étude de ces modèles est la base du travail de la thèse que Y. Vernaz a débutée en octobre 96. Dans la première partie de ce travail, nous avons mis en oeuvre une procédure itérative basée sur la méthode des moindres carrés pour l'estimation des paramètres d'un modèle ARCH ou GARCH (modèle ARCH généralisé[Bol86]). Les résultats théoriques montrent que cette méthode a un bon comportement asymptotique, en particulier dans un cadre non gaussien, cas où les méthodes habituelles basées sur la vraisemblance ne sont plus performantes. Les simulations effectuées confirment le bon comportement de la procédure itérative proposée, en outre celle-ci est avantageuse pour sa simplicité de mise en oeuvre, sa rapidité et sa stabilité numérique. Nous avons poursuivi notre travail par l'étude de modèles plus élaborés, où la modélisation ARCH est appliquée non au processus initial, mais au processus d'innovation ceci dans un cadre non gaussien. Dans ce contexte il est alors possible de réaliser une inférence en ne retenant que les deux premiers moments et la fonction qui les relie, en utilisant les notions de quasi-score et de quasi-vraisemblance[MN89]. L'étude menée nous a conduit à un algorithme général pour la famille esponentielle de lois. L'idée s'inspire de la relecture du modèle sous la forme d'un modèle linéaire généralisé, on peut alors sous certaines conditions construire un estimateur déduit de la quasi-vraisemblance au sens de Wedderburn[Wed74]. Enfin, nous étudions parallèlement un estimateur de type adaptatif dans le cas de modèles avec des erreurs (G)ARCH. Nous avons obtenu des résultats théoriques et expérimentaux dans le cas où la densité est connue et les expérimentations numériques sont prometteuses.
Dans la théorie des modèles ARCH (Auto-Régressifs Conditionnellemnt Hétéroscédastiques) pour l'analyse de rentabilités financières, la loi gaussienne apparaît naturellement aussi bien d'un point de vue descriptif que théorique. Dans cette recherche, nous proposons d'étendre ces modèles à des lois de la famille exponentielle, comme il est fait dans la théorie des GLM, en nous focalisant sur l'étude de séries chronologiques de loi de probabilité sous-jacente Poisson, binomiale ou exponentielle. Nous introduisons ainsi une nouvelle classe de modèles, dénommé ``GLM-ARCH", pour des modèles de type modèles linéaires généralisés auto-régressif. L'appellation ``ARCH" se justifie par le fait que la variance conditionnelle n'est pas constante. Nous montrons qu'il est possible d'exhiber des cas particuliers où le processus sera stationnaire au premier ordre et asymptotiquement stationnaire au second ordre. Nous proposons ensuite quelques exemples de ces modèles en commençant par des séries de loi exponentielle, puis de Poisson. On vérifie alors de façon empirique (voire théorique dans certains cas) que l'on introduit par le biais de cette modélisation un phénomène de type ``leptokurtique". Nous faisons de plus un parallèle avec les modèles ARCH de la finance, ce qui amène un point de vue nouveau sur le calcul des estimateurs du pseudo-maximum de vraisemblance.