Projet : ISA

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Sous-sections

• Calcul de l'équation de radiance à partir d'une méthode de décomposition de domaine
• Architecture logicielle et algorithmes pour la résolution de l'équation de radiance

   
Simulation et visualisation

Participants : Laurent Alonso, Hervé Barthélémy, Xavier Cavin, François Cuny, Nicolas Holzschuch, Slimane Merzouk, Jean-Claude Paul, Sylvain Petitjean, Christophe Winkler.

Mots clés : simulation, génération d'images réalistes, algorithmique parallèle, réalité virtuelle. .

Résumé :

Nous avons conçu d'une part une nouvelle approche théorique du calcul de l'équation de radiance. Cette approche, numérique, exploite une technique de résolution hiérarchique et est fondée sur une méthode de décomposition de domaines qui permet de réduire les calculs géométriques dans chaque sous-domaine à leur plus simple expression. D'autre part, nous avons développé une plate-forme logicielle et un ensemble d'algorithmes robustes qui nous permettent d'expérimenter certaines méthodes, mais également de générer des images de grande qualité dans un contexte applicatif en vraie grandeur. Enfin, nous avons travaillé dans le domaine de la visualisation, pour développer des applications de réalité virtuelle en architecture et en géophysique.

Calcul de l'équation de radiance à partir d'une méthode de décomposition de domaine

Nous avons utilisé tout d'abord un algorithme efficace pour construire un arbre de partitionnement binaire (BSP). Cet algorithme opère dans n'importe quelle dimension et sa construction BSP est de taille linéaire. Nous ajoutons les informations de voisinage entre les cellules de l'arbre. Puis, nous construisons les liens entre les cellules feuilles de l'arbre BSP. Ces liens sont construits en utilisant une simple traversée de l'arbre BSP.

La formulation de l'équation de radiance et le schéma itératif que nous avons utilisé pour la résoudre en utilisant le partitionnement géométrique sont les suivants :

Considérons la formulation en terme de transport d'énergie entre trois points de la radiance incidente sur les surfaces A_i, A_j, A_k. Nous supposons que la fonction de radiance L(y $\leftarrow$ x) arrivant en y du point x a été projetée dans une base de fonctions $\left\{\vphantom{ N_m (y \leftarrow x) }\right.$N_m(y $\leftarrow$ x)$\left.\vphantom{ N_m (y \leftarrow x) }\right\}$ de l'espace des distributions de radiance, de façon à avoir :

L(y $$\leftarrow$$ x) = $$\sum_{m}^{}$$l_mN_m(y $$\leftarrow$$ x).

En effectuant le même traitement pour la fonction de radiance L(z $\leftarrow$ y) sur la surface A_j, on obtient alors la formulation discrète :

l_n = l_n^e + $$\sum_{m}^{}$$T_mnl_m.

où T_mn est le coefficient de transport.

Nous avons utilisé comme fonctions de base plusieurs classes d'ondelettes. Notons que pour former des fonctions de base 4D pour les besoins ci-dessus, nous utilisons la base d'ondelettes non standard construite à partir du produit tensoriel des fonctions de base unidimensionnelles. En outre, les coefficients des fonctions de base ne sont pas associés à un élément individuel, comme c'est le cas pour la radiosité, mais plutôt à une paire de surfaces. Ainsi les liens de visibilité sont entre paires d'éléments de surfaces.

L'algorithme consiste alors à diviser récursivement chaque élément là où le noyau de la radiance n'est pas suffisamment régulier, et ensuite à utiliser un schéma de résolution pour propager l'énergie et résoudre le transport discret. Nous avons implanté plusieurs types de règles de quadrature pour le calcul des coefficients de transport. Les quadratures de Gauss-Legendre ont prouvé leur efficacité pour notre calcul. Si nous utilisons les ondelettes de Haar, qui ont un support fini, les intégrales 6D de T_mn peuvent s'évaluer avec une règle produit de quadratures, car le domaine d'intégration est un hypercube 6D. Cependant les quadratures sont aussi connues pour avoir des problèmes de précision. Le nombre total de points de quadrature est N⁴ ou N⁶, suivant la situation considérée. L'étape suivante consiste à résoudre le système pour calculer la fonction de radiance. Tous les liens de visibilité de la hiérarchie sont triés dans une « queue de priorité » dépendant de leur énergie. À chaque étape, le plus énergétique des liens est choisi et transmet l'énergie aux éléments avec lesquels il interagit. Dans notre algorithme, chaque élément envoie l'énergie à un nombre constant d'éléments. Cette résolution progressive permet de prendre en compte rapidement les liens les plus importants.

Nous n'avons pas encore expérimenté complètement notre méthode, qui permet de calculer la radiance, mais nous espérons qu'elle permettra une avancée significative. Elle est d'un niveau de complexité raisonnable. En outre, elle est particulièrement adaptée à une mise en oeuvre parallèle. Les expérimentations que nous avons menées jusqu'ici sur la parallélisation de l'algorithme de radiosité, qui dans sa version hiérarchique est de nature irrégulière et dynamique, montrent en effet le rôle que peuvent jouer des stratégies comme les méthodes de décomposition de domaines, dans la mesure où elles favorisent l'exploitation de la localité des données. Nous pensons également que la méthode est susceptible de faciliter l'introduction de variations temporelles dans les simulations.

Architecture logicielle et algorithmes pour la résolution de l'équation de radiance

Nous avons développé une architecture permettant d'implanter les algorithmes et les structures de données nécessaires pour résoudre l'équation de radiance. Les objectifs que nous avons voulu donner à cette architecture sont :

• fournir une base de test pour l'expérimentation d'algorithmes et une base de développement pour des applications ;
• implanter facilement de nouveaux algorithmes, voire de nouvelles configurations d'algorithmes ;
• obtenir néanmoins, en dépit de ces contraintes, une bonne performance logicielle.

La satisfaction de ces objectifs a orienté les principes de conception de notre architecture.

Échelles de conception :

nous avons conçu notre architecture à partir de trois échelles de conception : échelle physique, échelle mathématique et échelle algorithmique. Chaque échelle représente une certaine contribution à la conception :

• par une certaine façon de bien définir le problème et ses limites, par exemple : hypothèse restrictive sur les propriétés radiatives des surfaces (échelle physique), erreur inhérente au choix d'un espace de projection pour une fonction (échelle mathématique) et calculabilité d'une solution algorithmique (échelle algorithmique) ;
• par la mise en évidence de concepts spécifiques qui seront traduits sous forme de modules, de classes et d'objets, par exemple : valeurs d'irradiance (échelle physique), fonctions de base (échelle mathématique) et structures spatiales (échelle algorithmique).

Les entités et leurs relations :

notre architecture est composée de modules et d'objets en interaction statique (graphe d'héritage, graphe de contenance) et dynamique (graphe d'utilisation, envoi et réception de messages). Chaque module consiste en un ensemble d'objets coopérants, offrant ainsi un ensemble de services aux autres modules via un protocole bien défini. Nous avons voulu que l'identification des modules respecte les contraintes suivantes :

• interaction faible : l'interaction entre les modules se fait de la façon la plus « lâche » possible (loosely coupling), étant bien entendu qu'il est nécessaire d'avoir un minimum d'interactions pour que le système puisse accomplir un quelconque travail utile,
• indépendance et comportement : chaque module possède un comportement bien défini à l'intérieur du système global, le comportement du module étant le résultat de l'analyse et de la conception.

Programmation :

notre architecture est construite à partir d'objets -- au sens programmation objet -- représentant les données, et d'objets représentant les calculs : calcul de visibilité, résolution du système matriciel, calcul de quadrature, etc. Nous avons choisi l'approche objet, en raison de ses mécanismes d'héritage et de masquage des données qui simplifient le développement d'une architecture satisfaisant aux critères que nous avons définis précédemment. Notre choix du langage C++ tient à son usage répandu et à l'option que nous avons prise d'utiliser OpenInventor comme bibliothèque pour la visualisation graphique 3D.

Plusieurs algorithmes sont actuellement implantés, qui concourent à la résolution de l'équation de radiance de la manière suivante :

• représentation du modèle géométrique : ${\cal M}$,
• représentation de la fonction d'émission : g,
• représentation des propriétés radiatives des surfaces : k,
• représentation de la fonction de radiance f : fonctions de base $\psi_{i}^{}$,
• représentation des distributions spectrales : $\lambda$,
• calcul de la fonction de visibilité : v,
• calcul des coefficients d'interaction entre les éléments de la scène : a($\phi_{i}^{}$,$\phi_{j}^{}$) et L($\phi_{i}^{}$),
• calcul de la solution du système d'équations linéaires : solver.

Une configuration particulière de ces différents algorithmes permet actuellement de calculer une solution de radiosité. Cette configuration utilise les propriétés hiérarchiques des ondelettes, et plusieurs variantes de cet algorithme général sont proposées.

En outre, des solutions intégrant des fonctions physiques plus complexes (general brdf), des problématiques de contrôle de l'erreur différentes (discontinuity meshing, importance error-driven), ou des techniques de calcul par raffinement plus élaborées (clustering, ddm) peuvent être intégrées à notre architecture, en réutilisant une grande partie du code, et en conservant une bonne stabilité et de bonnes performances.

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