Projet : M3N - Couplage Fluide-Structure

Participants : Rodolfo Araya, Patrick Le Tallec, Gorazd Medic, Bijan Mohammadi, Marc Thiriet, Marina Vidrascu .

Mots clés : algorithme numérique, décomposition de domaines, équation de Navier-Stokes, calcul d'erreurs, calcul des structures, turbulence .

Résumé :

L'action de cette année s'est organisée autour des stratégies intrinsèques de calcul d'erreurs pour les structures hétérogènes , de l'analyse de la conservation d'énergie dans l'intégration des problèmes fluide-structures, de l'implémentation et de la validation de lois de transpiration, et de l'étude numérique des écoulements sanguins. La grande majorité de ces recherches se fait dans le cadre d'une action incitatrice fluide-structure.

Le développement de calcul d'erreur pour la partie structure s'est continué en essayant d'améliorer et d'étendre l'estimateur d'erreur a posteriori du type résidu introduit l'an dernier pour des problèmes elliptiques non homogènes. Le premier estimateur proposé faisait intervenir une notion de dimension moyenne et de module d'élasticité moyen par maille difficiles à estimer dans un environnement industriel. Le nouvel estimateur développé cette année est hiérarchique, totalement intrinsèque, et s'applique pour les problèmes homogènes ou hétérogènes, compressibles ou incompressibles, en deux ou en trois dimensions. La seule donnée de l'utilisateur est le choix de fonctions bulles par faces et par arêtes, qui permettent de projeter localement le résidu calculé sur la solution existante. L'estimateur est maintenant totalement écrit, et en cours de validation numérique.

Le second aspect crucial dans l'étude des problèmes d'interaction fluide-structure est l'analyse numérique du bilan d'énergie. Le respect d'une condition globale de conservation d'énergie est crucial pour garantir la stabilité des schémas numériques, la précision à long terme des simulations, et la consistance mathématique des modèles employés. Cette conservation d'énergie peut être violée par des schémas d'intégration numérique trop dissipatifs, ou mal décalés en temps. Le schéma de [[17]] a été amélioré cette année pour mieux préserver la conservation de l'énergie, en garantissant une conservation exacte de l'énergie à l'interface fluide-structure. Les différents schémas implicites proposés ont aussi été analysés avant et après discrétisation par éléments finis. On a pu ainsi mettre en évidence que ce principe de conservation d'énergie était très sensible aux erreurs de discrétisation spatiale. En particulier, le respect de ce principe nécessite que le bilan de masse soit exactement vérifié par les fonctions localement constantes, ce qui correspond aux lois de conservation géométrique introduites expérimentalement dans la littérature numérique.

Sur le plan logiciel, le code semi-explicite tridimensionnel NSIKE de calculs d'écoulements incompressibles visqueux a été modifié pour prendre en compte des conditions aux limites de transpiration. Ces conditions permettent de ramener le calcul d'écoulements sur domaine mobile à un calcul sur domaine fixe, plus simple et moins cher à réaliser. Cette stratégie a finalement été validée sur des écoulements autour de profils de ponts [[34]].

La dernière partie du travail sur les interactions fluides structures a porté sur la simulation numérique de problèmes de biomécanique.

**Figure:** A gauche, maillage tridimensionnel d'un anévrisme cérébral après élimination d'un certain nombre de points en conservant la forme de la peau de la lésion (2654 points et 5304 faces). A droite, champ de pression dans un plan de coupe.
$\includegraphics[width=6cm]{p40roi10label.ps}$ $\includegraphics[width=6cm]{ap40cp.ps}$

**Figure 6:** En haut et à gauche, maillage tridimensionnel du tronçon distal du tube collabé comportant la zone de contact (non maillée) et le système de référence. Contours isovitesse et lignes de courant dans les plans y $\sim$ 0, 5 et x $\sim$ 0, 5en haut,à droite et en bas respectivement.
$\includegraphics[width=6cm]{mtcdistc.ps}$ $\includegraphics[width=4cm]{tc1210uisoydia0006.ps}$ $\includegraphics[width=4cm]{tc1210lcydia0005.ps}$ $\includegraphics[width=6cm]{tc1210uisoxdia0006.ps}$ $\includegraphics[width=4cm]{tc1210lcxdia0003.ps}$

Cette étude est menée en collaboration avec A. Gaston et P. Brugières, du service de neuroradiologie du CHU H. Mondor de Créteil, et J. Bittoun, responsable du CIERM au CHU Kremlin-Bicêtre. Les anévrismes cérébraux sacculaires congénitaux (i.e. ni postinfectieux ni posttraumatiques) sont observés dans les embranchements de la circulation artérielle cérébrale, essentiellement au niveau du polygone de Willis, à l'endroit où la paroi est fragilisée en raison de l'apparition d'une solution de continuité de la media.

La singularité pathologique est constituée par l'anévrisme et ses vaisseaux afférent et efférents. A notre connaissance, les travaux de la littérature ne sont pas appropriés, les éléments géométriques de base n'étant pas pris en compte. Deux modèles bidimensionnels d'anévrismes ont été étudiés dans une première étape. Le champ de pression que nous avons calculé permet d'expliquer l'expansion de l'anévrisme et sa rupture, soit au niveau du dôme, soit au niveau du collet, ainsi que les échecs de la thérapie endovasculaire.

Outre les angiographies RMN des principales artères cérébrales chez des volontaires sains et des patients porteurs d'anévrismes cérébraux, couplées à des mesures de la vitesse et du débit, quelques anévrismes, représentatifs des principaux types de lésions, ont été aussi maillés à partir d'images médicales prétraitées par G. Malandain du projet Epidaure de l'INRIA (Fig. 5). La géométrie de la lésion est étroitement liée au champ de pression. Le développement de l'anévrisme est l'une des applications étudiées dans le cadre de l'Action Incitative ``Interaction Fluide-Structure''.

Cette investigation est menée en collaboration avec C. Ribreau (Université Paris 11). Une étape du travail a consisté à étudier numériquement l'écoulement dans une configuration de collabage figée, comportant un tronçon de contact. Ce travail a pour objectif de définir le comportement de l'écoulement laminaire stationnaire (nombre de Reynolds de 1210) dans la zone de contact et dans le divergent en aval (effet d'extrêmité dû à la fixation du tube sur le conduit rigide). La configuration de ce tube est donnée par les mesures ultrasonores des sections droites d'un tube collabable expérimental, dans lequel le fluide s'écoule avec un débit fixé. Le fluide se sépare en deux courants dans les parties latérales de la lumière de la zone de contact du vaisseau (Fig. 6). En aval, dans le tronçon de sortie du tube collabé, le jet est associé à des décollements (effets de la divergence des parois opposées et du corps immergé représenté par le zone de contact).

Ce travail est mené dans le cadre d'une Action Incitative ``Simulation de Chirurgie Laparoscopique du Foie'', en collaboration avec l'IRCAD (Institut de Recherche sur les Cancers de l'Appareil Digestif) associé à l'EITS (Institut Européen de Télé-Chirurgie) à Strasbourg. Il s'agit d'élaborer un système de formation aux gestes de la chirurgie laparoscopique, étape préalable à l'apprentissage sur l'animal. Notre contribution consiste à concevoir (1) un maillage du foie comportant les références nécessaires aux conditions aux limites et (2) un modèle biomécanique de référence du comportement mécanique du foie.

Couplage Fluide-Structure

Résumé :

Footnotes