Projet : M3N - Optimisation et Contrôle

La conception optimale de formes demande à utiliser les modèles numériques de comportement développés au préalable pour optimiser la forme de l'objet étudié. Enfin, plus généralement, les techniques de contrôle peuvent être utilisées comme outil de résolution ou de stabilisation de certaines équations.

Aspects mathématiques et numériques en optimisation de formes pour l'aérodynamique externe

Mots clés : algorithme numérique, mécanique des fluides, optimisation de forme .

Résumé :

Après avoir formalisé mathématiquement les différentes stratégies de calcul des gradients des fonctions coûts par rapport à la forme de l'objet à optimiser, une nouvelle méthode d'optimisation de formes a été développée et validée permettant de pouvoir adapter le maillage de manière arbitraire au cours de la boucle d'optimisation.

Une stratégie d'optimisation de formes indépendante du maillage, a été mise au point pour des profils plongés dans des écoulements stationnaires ou périodiques aussi bien visqueux que non visqueux. Ceci a permis la résolution de problèmes complexes d'optimisations de formes, sur des écoulements périodiques dont les périodes dépendent de la forme, avec une fonctionnelle de coût reliée à une énergie.

**Figure 1:** Différents maillages au cours du processus d'optimisation
$\includegraphics[width=55mm]{fig1.eps}$ $\includegraphics[width=55mm]{fig2.eps}$ $\includegraphics[width=55mm]{fig3.eps}$ $\includegraphics[width=55mm]{fig4.eps}$ $\includegraphics[width=55mm]{fig5.eps}$ $\includegraphics[width=55mm]{fig6.eps}$

La méthode utilisée pour développer une stratégie d'optimisation de formes indépendante du maillage repose sur l'utilisation de paramètres de formes définissant les formes de manière analytique. Il faut ensuite ramener le gradient calculé sur le maillage utilisé pour le calcul de la fonction de coût au gradient par rapport à ces paramètres de formes. Cette technique a été développée théoriquement et appliquée à des cas-test. La figure 1 montre les différents maillages obtenus au cours d'un processus d'optimisation où la traînée à été réduite de 55% tout en maintenant la portance à plus de 95% de sa valeur initiale. L'algorithme de minimisation utilisé a été l'algorithme de points intérieurs d'Herskovits, connu pour sa bonne gestion des contraintes.

Les nouveaux maillages créés à chaque étape ont été obtenus par adaptation à l'aide du logiciel Bamg développé par Frédéric Hecht dans le projet Gamma. On a d'ailleurs pu mettre au point une technique d'adaptation de maillage pour les gradients par rapport à la forme en construisant les métriques à la fois à partir des solutions de l'équation d'état et des solutions de l'équation adjointe.

L'autre problème étudié consiste à calculer la fonction de coût de la manière suivante : on soumet d'abord la forme à optimiser $\gamma$ (une aile ou une aube de turbine) à une déformation $\vec{d}\,$ sin $\left(\vphantom{\omega t}\right.$ $\omega$ t $\left.\vphantom{\omega t}\right)$ dont la forme $\vec{d}\,$ et la pulsation $\omega$ peuvent dépendre ou non de $\gamma$ (par exemple, $\vec{d}\,$ et $\omega$ peuvent être les premiers éléments propres élastiques de la forme considérée comme une structure) ; on calcule ensuite l'écoulement périodique engendré puis on évalue une fonction de coût, valeur moyenne de fonctions du style traînée, portance ou énergie.

**Figure 2:** Formes et courbes de traînée initiales et finales
$\includegraphics[width=55mm]{fig7.eps}$ $\includegraphics[width=55mm]{fig8.eps}$

La figure 2 montre les résultats obtenus en minimisant la fonctionnelle de coût ${\frac{1}{T}}$ $\int_{0}^{T}$ C_d $\left(\vphantom{t}\right.$ t $\left.\vphantom{t}\right)$ dt, où C_d $\left(\vphantom{t}\right.$ t $\left.\vphantom{t}\right)$ est la traînée à l'instant t, lorsque le profil est soumis à une déformation $\vec{d}\,$ sin $\left(\vphantom{\omega t}\right.$ $\omega$ t $\left.\vphantom{\omega t}\right)$ , où $\vec{d}\,$ et $\omega$ sont le premier mode propre et la première pulsation propre élastique. Lors de ce calcul, le module d'Young, le coefficient de Poisson et la masse volumique utilisés ont été respectivement de 217 MPa, 0,25, 7800 kg/m³, ce qui correspond aux caractéristiques d'une aube de turbine (données fournies par la Direction des Structures et des Matériaux de l'ONERA). On a ajouté une contrainte sur la portance moyenne supposée rester à plus de 95% de sa valeur initiale. Là encore, les contraintes ont été gérées par l'algorithme de points intérieurs. Le résultat obtenu est une réduction de 40% de la fonction de coût, et un maintien de la portance moyenne à plus de 95% de sa valeur initiale.

Optimisation de forme pour les écoulements complexes

Mots clés : algorithme numérique, mécanique des fluides, écoulements complexes, optimisation de forme .

Les travaux effectués au cours de l'année 1998 se situent dans le cadre du stage de DEA de Mugurel Stanciu (Université de Paris VI), de la thèse de Nicolà Petruzzelli (preparée en collaboration Politecnico di Bari - INRIA) et de la thèse de Gorazd Medic (Université de Paris VI) sous la direction de Bijan Mohammadi. Il s'agit de traiter différents problèmes d'optimisation des écoulements complexes.

Dans le cadre d'un contrat avec VALEO TM on a effectué l'optimisation des pales de ventilateurs de refroidissement du moteur. Le problème consiste d'abord en une analyse d'écoulement turbulent incompressible 2D et 3D avec le solveur NSIKE, et ensuite en une procédure d'optimisation de la forme de la pale, ayant pour but l'augmentation du rendement du ventilateur. La méthodologie employée est basée sur le calcul du gradient approché, une méthode de gradient avec un pas de descente fixe, en utilisant comme variables de contrôle les coordonnées des sommets du maillage.

La même méthodologie a été appliquée pour l'optimisation des écoulements transoniques et supersoniques. Les cas traités sont:

Equations de Maxwell 3D

Mots clés : algorithme numérique, élément fini, équations de Maxwell, logiciel numérique, modélisation, contrôle .

Résumé :

Un solveur explicite, entièrement écrit en C++, a été développé pour la simulation numérique de la diffraction d'ondes électromagnétiques par des obstacles tridimensionnels, parfaitement conducteurs et nonconvexes. En parallèle, diverses modifications ont été apportées pour améliorer l'efficacité d'une formulation "Contrôlabilité Exacte" qui permet d'obtenir la solution harmonique en temps du problème à partir du calcul explicite de diverses solutions instationnaires.

On a poursuivi l'étude de méthodes de résolution pour les problèmes de diffraction d'ondes acoustiques ou électromagnétiques par des géométries bi ou tridimensionnelles. On s'intéresse en particulier au régime harmonique et, en collaboration avec R. Glowinski (Univ. Houston)et J. Périaux( Dassault Aviation), on a proposé l'application de méthodes de contrôlabilité aux calculs de solutions périodiques pour des obstacles non convexes ([[16],[27],[44],[43]]).

On considère une approche temporelle et une formulation moindres carrés du problème permet de le résoudre par un algorithme de gradient conjugué préconditionné, ce qui conduit à l'intégration d'une suite d'équations des ondes ou d' équations des ondes généralisées dans le cas des équations de Maxwell.

**Figure 3:** Maillage autour et dans une cavité cylindrique découpé en 16 sous-domaines.
$\includegraphics[width=0.6\textwidth]{cav.16.eps}$

**Figure 4:** Calcul Maxwell 3D autour et dans une cavité cylindrique. Speed up relatif en fonction du nombre de processeurs T3E.
$\includegraphics[width=0.4\textwidth]{sp.ps}$

L'introduction du préconditionneur conduit à la résolution d'une suite de systèmes linéaires qui ont la même matrice symétrique et des seconds membres différents. Si ces systèmes linéaires peuvent être résolus en 2D par une méthode directe avec factorisation de la matrice une fois pour toutes, on doit en 3D (ou pour les gros calculs 2D) utiliser une méthode itérative. On applique un gradient conjugué augmenté. Cette étude ([[15]]) a été effectuée en collaboration avec J. Erhel et F.Guyomarc'h du projet Aladin. La résolution du premier système permet de générer un sous-espace de Krylov, et pour les sytèmes suivants on applique un gradient conjugué modifié dans lequel des projections orthogonales sur ce sous-espace permettent de calculer une solution initiale et des directions de descente modifiées qui améliorent la convergence. La méthode est simple à implémenter et l'overhead est réduit. On a montré ([[15]]) l'efficacité de la méthode pour des systèmes de plus de 200 000 inconnues.

Suite à la parallélisation du code de résolution des équations de Maxwell 3D par T.Rossi ( Univ. de Jyvaskyla et Dassault Aviation) durant son séjour dans le projet en 97, on a optimisé les versions parallèle et vectorielle du code en fonction de la machine cible, en particulier au niveau du stockage des matrices. La parallélisation est basée sur le logiciel MPI; pour la décomposition de domaines (Fig.3) on applique le logiciel decomp développé par E. Saltel du projet Gamma. L'algorithme parallèle est équivalent algébriquement à l'algorithme séquentiel, on utilise le caractère explicite de l'algorithme. On a comparé sur plusieurs exemples l'efficacité des codes sur les machines Cray C90 et T3E (Fig.4) de l'Idris (cf.[[43]]).

Un élément important de l'exploitation des résultats d'un calcul de diffraction est l'estimation de la Surface Equivalente Radar (SER) d'un obstacle. Après une transformation champ proche-champ lointain, on doit définir une approximation de la dérivée normale. On a montré ([[44]]), à partir de tests sur des cas 2D et 3D pour lesquels on connait la SER exacte, que l'approximation obtenue par application d'une formule de Green donnait des résultats plus précis que ceux obtenus avec différentes moyennes.