Projet : MEVAL

previous up next contents
Précédent : Modèles fluides à plusieurs échelles Remonter : Résultats nouveaux Suivant : Grammaires aléatoires et grammaires de

   
Grandes déviations et frontières de Martin



Participants : Guy Fayolle, Arnaud de La Fortelle.

La théorie des grandes déviations s'intéresse aux événements rares. Pour un processus (Xn, n $ \geq$ 1) prenant ses valeurs dans un espace métrique E et dont les moyennes empiriques $ \hat{S}_{n}^{}$($ \omega$) = $ {\frac{1}{n}}$$ \sum_{i=1}^{n}$Xi($ \omega$) admettent une limite (par exemple les suites de variables i.i.d. ou les chaînes de Markov), on étudie le comportement asymptotique de P($ \hat{S}_{n}^{}$ $ \in$ $ \Gamma$), où $ \Gamma$ est un borélien de l'espace E. De façon plus générale, on analyse certaines distributions empiriques Ln($ \omega$) = $ {\frac{1}{n}}$$ \sum_{i=1}^{n}$$ \delta_{X_i(\omega)}^{}$. Cette année, on a montré un principe de grandes déviations ( PGD) de type Sanov faible, valable pour toute chaîne de Markov (non nécessairement ergodique, ni même irréductible) à espace d'états dénombrable. Il s'agit apparemment d'un progrès théorique, car l'état actuel de l'art imposait des conditions assez restrictives d'uniformité sur le générateur, qui ne sont pas satisfaites pour d'importantes classes d'applications, comme les réseaux à sauts bornés. L'approche part du travail d'Ellis en mécanique statistique, qui considère la mesure empirique sur les paires

Ln($\displaystyle \omega$) = $\displaystyle {\frac{1}{n}}$$\displaystyle \left(\vphantom{ \sum_{i=1}^n \delta_{X_i (\omega), X_{i+1}}(\omega) }\right.$$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}$$\displaystyle \delta_{X_i (\omega), X_{i+1}}^{}$($\displaystyle \omega$)$\displaystyle \left.\vphantom{ \sum_{i=1}^n \delta_{X_i (\omega), X_{i+1}}(\omega) }\right)$.
Dans le cas d'irréductibilité, le principal résultat donné dans [[17]] dit que, pour tout ouvert O (resp. fermé K) dans l'ensemble Ms(E2) des mesures équilibrées, on a
$\displaystyle \liminf_{n\rightarrow\infty}^{}$$\displaystyle {\frac{1}{n}}$lnPr[Ln $\displaystyle \in$ O] $\displaystyle \geq$ - $\displaystyle \inf_{A\in O}^{}$H(A| P),      
$\displaystyle \limsup_{n\rightarrow\infty}^{}$$\displaystyle {\frac{1}{n}}$lnPr[Ln $\displaystyle \in$ K] $\displaystyle \leq$ - $\displaystyle \inf_{A\in K}^{}$H(A| P),      

où H représente l'entropie relative qui est la fonctionnelle d'action. Plusieurs conséquences intéressantes ont été mises en évidence. Par exemple
$\displaystyle \limsup_{n\rightarrow\infty}^{}$$\displaystyle {\frac{1}{n}}$lnPn(x, y) = - $\displaystyle \inf_{A\in M_s(E^2)}^{}$H(A| P) = - $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \forall$x, y,
la constante $ \alpha$étant nulle pour tout système ergodique. L'équation ci-dessus montre le lien existant entre PGD et frontière de Martin (i.e. l'ensemble des fonctions harmoniques), laquelle rend compte (notamment lorsque le système est transient) du comportement à l'infini et doit être étudiée plus en profondeur : le but ultime étant l'application aux réseaux, il sera nécessaire d'exprimer un PGD sur des ensembles fermés.


previous up next contents
Précédent : Modèles fluides à plusieurs échelles Remonter : Résultats nouveaux Suivant : Grammaires aléatoires et grammaires de